Booth算法

简便算法

Booth算法是一种适合于通过硬件实现的简便算法。将乘数看作从最低位开始的一串二进制数字。Booth算法的基本思路是：对于具有连续0和1的组，需要产生的部分积较少。对于乘数中每个0，仅需要将前面的累加的部分积向右移动一位。

简介

利用移位和加法，可以实现二进制无符号数的乘法，在无符号数乘法的基础上，加上适当的符号处理，很容易得到带符号数的原码乘法器。但是，在计算机中，带符号数都以补码表示，若采用原码乘法器进行带符号数的乘法运算，则首先要将乘数和被乘数转换成原码，相乘后再将负的乘积转换成补码，致使运算过程比较复杂。

不少处理器直接采用补码相乘的方法，以避免运算过程中的码制转换，提高处理器的工作效率。然而，二进制无符号的乘法并不能直接推广到补码的乘法运算，比较普遍采用的是布斯(Booth)补码相乘算法。

原理

布斯算法将乘数看作从最低位开始的一串二进制数字。从最低位算起，只要这串数字为“0“，就不执行任何操作；当这串数字遇到第一个“1”时执行一次减法，即减被乘数与该位权值的乘积，而对于其后的“1”不执行任何操作；当这串数字再变为“0”时，则遇到第一个“0”时执行一次加法，即加被乘数与该位权值的乘积，而对其后的“0”则不执行任何操作。如此一直进行到最高位。

举例来说，假设被乘数是5，乘数是7，即进行二进制数00000101与00000111相乘。该算法将7看作为三个“1”后面跟有五个“0”的一串数字。对于第一个”1”，该算法将减去5×20，对于第二和第三个“1”，则不执行任何操作；当遇到第一个“0”时，加5×23，得到最后结果是35。用算式表示为：

计算步骤

Booth算法对乘数从低位开始判断，根据两个数据位的情况决定进行加法、减法还是仅仅移位操作。判断的两个数据位为当前位及其右边的位(初始时需要增加一个辅助位0)，移位操作是向右移动。

其中booth算法在操作时，需要遵循一个操作表：

具体步骤如下：

1、被乘数X与乘数Y均以补码的形式参加乘法运算，运算结果是积的补码。

2、部分积和被乘数X采用双符号位，乘数Y采用单符号位。

3、初始部分积为0。运算前，在乘数Y的补码末位添加一位附加位Yn+1，初始值为0。

4、根据YnYn+1的值，按照上表进行累加右移操作，右移时遵循补码的移位规则。

5、累加n+1次，右移n次，最后一次不右移。

用途

对于算术四则运算，加减用补码方法、乘除用原码方法无法实现。这样会使同一运算部件做四则算术运算需要进行码制转换，这会非常困难。

原码乘法中的符号位不能参加运算，需要单独用一个异或门产生乘积的符号位。故人们自然地思考能否让符号数字化后也参加乘法运算的问题，补码乘法就可以实现符号位直接参加运算。

补码乘除解决符号位参加运算的问题，但过程比较复杂，人们寻求较好的补码乘法和除法。由Booth(布斯)夫妇首先提出的比较法即Booth算法是一种比较好的带符号数乘法的方法，被广泛采用。

Booth算法采用相加和相减的操作，计算补码数据的乘积。Booth算法对乘数从低位开始判断，根据两个数据位的情况决定进行加法、减法还是仅仅移位操作。判断的两个数据位为当前位及其右边的位（初始时需要增加一个辅助位0），移位操作是向右移动。

特点

2位Booth编码可以将部分积的个数减少1/2，3位或4位的Booth编码可以使部分积的个数减少得更多。但是，在3位或3位以上的Booth编码中，虽然部分积的个数减少了，但是部分积产生电路变复杂了，部分积的产生需要的时间增加了，在一定程度上抵消了部分积的减少带来的好处。因此，在实际的乘法器设计中，常被使用的仍然是2位Booth编码。

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