R-tree

B树向多维空间发展的另一种形式

R树是B树向多维空间发展的另一种形式，它将对象空间按范围划分，每个结点都对应一个区域和一个磁盘页，非叶结点的磁盘页中存储其所有子结点的区域范围，非叶结点的所有子结点的区域都落在它的区域范围之内；叶结点的磁盘页中存储其区域范围之内的所有空间对象的外接矩形。R树是一种动态索引结构。

基本简介

R-tree是B-tree向多维空间发展的另一种形式，它将空间对象按范围划分，每个结点都对应一个区域和一个磁盘页，非叶结点的磁盘页中存储其所有子结点的区域范围，非叶结点的所有子结点的区域都落在它的区域范围之内；叶结点的磁盘页中存储其区域范围之内的所有空间对象的外接矩形。每个结点所能拥有的子结点数目有上、下限，下限保证对磁盘空间的有效利用，上限保证每个结点对应一个磁盘页，当插入新的结点导致某结点要求的空间大于一个磁盘页时，该结点一分为二(分裂)。R树是一种动态索引结构，即：它的查询可与插入或删除同时进行，而且不需要定期地对树结构进行重新组织。

数据结构

R-Tree是一种空间索引数据结构，下面做简要介绍：

（1）R-Tree是n 叉树，n称为R-Tree的扇（fan）。

（2）每个结点对应一个矩形。

（3）叶子结点上包含了小于等于n 的对象，其对应的矩为所有对象的外包矩形。

（4）非叶结点的矩形为所有子结点矩形的外包矩形。

R-Tree的定义很宽泛，同一套数据构造R-Tree，不同方可以得到差别很大的结构。什么样的结构比较优呢？有两标准：

（1）位置上相邻的结点尽量在树中聚集为一个父结点。

（2）同一层中各兄弟结点相交部分比例尽量小。

R-树是一种用于处理多维数据的数据结构，用来访问二维或者更高维区域对象组成的空间数据.R树是一棵平衡树。树上有两类结点：叶子结点和非叶子结点。每一个结点由若干个索引项构成。对于叶子结点，索引项形如(Index，Obj_ID)。其中，Index表示包围空间数据对象的最小外接矩形MBR，Obj_ID标识一个空间数据对象。对于一个非叶子结点，它的索引项形如(Index，Child_Pointer)。 Child_Pointer 指向该结点的子结点。Index仍指一个矩形区域，该矩形区域包围了子结点上所有索引项MBR的最小矩形区域。一棵R树的示例如图《r-tree图》所示：

性质简介

符号说明：M：结点中单元的最大数目，m(1＜= m ＜= M/2)为非根结点中单元个数的下限。

一个R树满足如下性质:

(1) 每一个叶子结点中包含的单元的个数介于m和M之间，除非他同样是根结点

(2) 每一个叶子结点中的单元(I, tuple-identifier),I为包含所有子结点的最小包含矩形(MBR)，tuple-identifier是指向存储记录的指针。

(3) 每一个非叶子结点的子结点数介于m和M之间，除非他是根结点

(4) 每一个非叶子结点单元(I, child -pointer)I是包含子结点的最小矩形MBR，child-pointer是指向子结点的指针。通过该指针逐层递归，可以访问到叶子结点。

(5) 根结点至少有两个子结点，除非他同时是叶子结点

(6) 所有的叶子结点都处在树的同一层上。

算法描述

算法描述如下：

对象数为n，扇区大小定为fan。

（1）估计叶结点数k=n/fan。

（2）将所有几何对象按照其矩形外框中心点的x值排序。

（3）将排序后的对象分组，每组大小为 *fan，最后一组可能不满员。

（4）上述每一分组内按照几何对象矩形外框中心点的y值排序。

（5）排序后每一分组内再分组，每组大小为fan。

（6）每一小组成为叶结点，叶子结点数为nn。

（7）k=nn，返回1。

其他索引结构

R+树

在Guttman的工作的基础上，许多R树的变种被开发出来， Sellis等提出了R+树，R+树与R树类似，主要区别在于R+树中兄弟结点对应的空间区域无重叠，这样划分空间消除了R树因允许结点间的重叠而产生的“死区域”（一个结点内不含本结点数据的空白区域），减少了无效查询数，从而大大提高空间索引的效率，但对于插入、删除空间对象的操作，则由于操作要保证空间区域无重叠而效率降低。同时R+树对跨区域的空间物体的数据的存储是有冗余的，而且随着数据库中数据的增多，冗余信息会不断增长。Greene也提出了他的R树的变种。

R*树

在1990年，Beckman和Kriegel提出了最佳动态R树的变种——R*树。R树和R树一样允许矩形的重叠，但在构造算法R*树不仅考虑了索引空间的“面积”，而且还考虑了索引空间的重叠。该方法对结点的插入、分裂算法进行了改进，并采用“强制重新插入”的方法使树的结构得到优化。但R*树算法仍然不能有效地降低空间的重叠程度，尤其是在数据量较大、空间维数增加时表现的更为明显。R*树无法处理维数高于20的情况。

QR树

QR树利用四叉树将空间划分成一些子空间，在各子空间内使用许多R树索引，从而改良索引空间的重叠。QR树结合了四叉树与R树的优势，是二者的综合应用。实验证明：与R树相比，QR树以略大（有时甚至略小）的空间开销代价，换取了更高的性能，且索引目标数越多，QR树的整体性能越好。

SS树

SS树对R树进行了改进，通过以下措施提高了最邻近查询的性能：用最小边界圆代替最小边界矩形表示区域的形状，增强了最邻近查询的性能，减少将近一半存储空间；SS树改进了R树的强制重插机制。当维数增加到5是，R树及其变种中的边界矩形的重叠将达到90%，因此在高维情况（≧5）下，其性能将变的很差，甚至不如顺序扫描。

X树

X树是线性数组和层状的R树的杂合体，通过引入超级结点，大大地减少了最小边界矩形之间的重叠，提高了查询效率。X树用边界圆进行索引，边界矩形的直径（对角线）比边界圆大，SS树将点分到小直径区域。由于区域的直径对最邻近查询性能的影响较大，因此SS树的最邻近查询性能优于R树；边界矩形的平均容积比边界圆小，R树将点分到小容积区域；由于大的容积会产生较多的覆盖，因此边界矩形在容积方面要优于边界圆。SR树既采用了最小边界圆（MBS），也采用了最小边界矩形（MBR），相对于SS树，减小了区域的面积，提高了区域之间的分离性，相对于R树，提高了邻近查询的性能。

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