弗雷歇空间

数学术语

弗雷歇空间(Frechet space)是法国数学家弗雷歇发现的一类特殊的序列空间。设X为拓扑空间，若对于X的每一子集A与x∈A，存在A中的序列{xn}使得{xn}收敛于x，则称X为弗雷歇空间。第一可数空间是弗雷歇空间，弗雷歇空间是序列空间，反之均不成立。但有人也把T1空间称为弗雷歇空间。

定义

可数半范数族决定的完备豪斯多夫拓扑线性空间称为弗雷歇空间。

等价定义为

设X为拓扑空间，若对于X的每一子集A与x∈A，存在A中的序列{xn}使得{xn}收敛于x，则称X为弗雷歇空间。

简介

弗雷歇空间(Frechet space)是一类特殊的序列空间。

例子

第一可数空间是弗雷歇空间，弗雷歇空间是序列空间，反之均不成立。但有人也把T1空间称为弗雷歇空间。

人物简介

弗雷歇（Fréchet，Maurice-René），法国数学家，1878 年 9月2日生于马利尼，1973年6月4日卒于巴黎。

1910 ～ 1919年任普瓦捷大学大学教授，1920年任斯特拉斯堡大学高等微积分学教授。1928年起执教于巴黎大学，先后任概率论讲师、一般数学教授、微积分学教授和概率论教授。弗雷歇首次提出抽象空间的定义，奠定了抽象空间的理论。他对数学分析和概率论也有贡献。

拓扑空间

在拓扑学及其相关的数学分支中，拓扑空间（topological space）是一个点的集合，其部分子集构成一个族满足一些公理。拓扑空间的定义仅依赖于集合论，是带有连续，连通，收敛等概念的最基本的数学空间。

设X是一个集合，O是一些的子集构成的族，则(X，O)被称为一个拓扑空间，如果下面的性质成立：

1. 空集和X属于O，

2.O中任意多个元素的并仍属于O，

3.O中有限个元素的交仍属于O。

这时，X中的元素成为点（point），O中的元素成为开集（open set）。我们也称O是X上的一个拓扑。

发展历程

“空间”是一个古老的概念，它几乎与人类一起产生。非欧几何的发现，扩大了人们的视野，数学家们也开始由有限维的现实空间转向对抽象空间的讨论。在数学上，弗雷歇 (Maurice Fréchet，1878 －1973) 最重要的贡献莫过于创造了度量空间的抽象理论，他的工作为点集拓扑学和泛函分析奠定了坚实的基础。弗雷歇运用康托尔(Georg Cantor，1845－ 1918) 所创立的集合论思想，对人类所生存的三维空间进行了推广，他把满足某种结构的集合看成是“空间”，以此为出发点，就可将数学中的许多问题转化为“空间”上的泛函或者“空间”之间的算子的研究。弗雷歇的这一想法在他1906年的博士论文《关于泛函演算若干问题》中给出了十分满意的答案，而这篇博士论文也成为弗雷歇一生最为重要的数学工作。事实上，在1904年至1905年间，弗雷歇已经有四篇注解和两篇研究论文为他的博士论文打下了坚实的基础。

1904年至1905年间，关于抽象空间理论，弗雷歇发表了四篇注解，这些文章均刊登在法国科学院报告中。

第一篇注解

1904年9月，他的第一篇注解发表，从而开始了其对抽象空间理论的研究。在这篇注解中，他引进了一种空间，这种空间中的元素可以是任意的( 如数，线，面等)。弗雷歇将这种空间称为C类空间，如果C类空间中的无穷序列A1，A2，…，An，…有极限A的话，则此序列必满足以下两个条件:

(1) 若{An} 的极限是A，则{An} 的任意一个无穷子序列的极限也是A。

(2) 若对于每一个i，都有Ai= A，则{An} 的极限也为A。弗雷歇博士论文的第一章主要是对L类空间进行研究的，他的L类空间实际上就是本篇注解中的C类空间，但弗雷歇对L类空间多补充了一条，即要求序列的极限是唯一的。在对C类空间进行讨论之前，弗雷歇指明知道依赖某些元素的量在指定区域内达到极值的问题在很多情况下是非常重要的，这里他引用了狄利克雷(P． G． Dirichlet，1805 － 1859) 原则作为他的一个论证。紧接着他给出了魏尔斯特拉斯 (Karl Weier-strass，1815 － 1897) 定理，即在有限区域内的连续函数，至少存在一点，使得函数值在这点处达到最大值。

弗雷歇想要做的事情就是将魏尔斯特拉斯定理推广到由任意特性的元素构成的空间中去。正是在这种动机，他开始考虑任意特性的元素所构成的空间上的函数的连续性问题，弗雷歇称这类问题为泛函。如果C类空间中的无穷序列{An} 有极限A的话，则需要满足前面提到的那两个条件，在此基础上，他开始在有界闭区域上定义连续泛函。

第二篇注解

在第二篇注解中，弗雷歇开始尝试从集合论、线性函数以及泛函等各种理论中找出它们的共同点。这种思想在集合论中是非常重要的，正如弗雷歇在第一篇注解中引进序列和序列的极限概念而不考虑其中的元素是由什么构成的。这篇注解中，弗雷歇主要回答了一个问题，即一个集合的导集并不一定总是闭集。他所采用的方法是给出了下面的一个反例: 将所有关于实变量x的实系数多项式构成的集合记为E，E中的元素构成一个序列{fn(x) } 如果对于任意的x，均有limn→∞fn(x)= f(x) ， (1)则fn的极限为f。

这里，弗雷歇并没有解释为什么E的导集不是闭的，但是从后面的讨论中可以清楚地看到，在他的脑子里已经有贝尔(René Louis Baire，1874 － 1932)函数的概念。这个问题对弗雷歇来说非常重要，因为他发现，要想进一步对一些定理进行推广，则满足某种结构的集合所构成的空间必须具备一条性质，即在这个空间中，任意一个集合的导集一定是闭集。

从这个例子我们可以看出，弗雷歇是从实变函数论开始他的抽象空间理论研究的，因为他的工作中有涉及关于勒贝格(H． Lebesgue，1875 － 1941) 测度方面的内容，当然，他也是知道勒贝格有关积分方面的研究的。弗雷歇关于讨论实变函数序列的想法在其1904年－ 1905年间和勒贝格的通信中就有所体现，这种想法对弗雷歇以及勒贝格证明下面的定理起着至关重要的作用。

第三篇注解

1905年2月27日，弗雷歇的第三篇注解发表。在这篇注解中，弗雷歇给出了他的一般理论的一个具体例子:在由实数构成的序列{an} 所组成的空间中，每个序列都被看做是空间中的一个元素。如果令A ={ak} ，An={a(n)k} ，则{An} 的极限是A，当且仅当对于任意的k，都有limn→∞a(n)k= ak。弗雷歇将满足此条件的空间称为E∞类空间，弗雷歇发现在E∞类空间中，每一个导集都是闭集，同时他还给出了此空间中一个集合紧致的充要条件，即得到了这样的结果: 在E∞类空间中，一个集合是紧致的，当且仅当存在一个由正数构成的序列{Mk} ，使得对于任意的k和这个集合中的每个元素A ={ak} ，均有| ak| < Mk。

这里，弗雷歇还定义了一个集合的凝聚点，他称一个点为一个集合的凝聚点，如果这个点是这个集合的极限元素，同时也是从这个集合中以任意的方式除去一个可数子集后所构成的新集合的极限元素。接着，弗雷歇称自己已经成功证明了许多结果，如E∞类空间中的一个子集是紧致的，当且仅当这个子集是有界的;E∞类空间中的任一子集的导集是闭集;E∞类空间中的每个不可数的有界子集至少有一个凝聚点。当然，在这篇注解中，弗雷歇并没有给出这些定理的证明过程。

第四篇注解

1905年3月20日，弗雷歇发表了第四篇注解。在这篇注解中，他仍然研究的是抽象的点集理论，但与以往不同的是，这里一个序列{An} 存在极限A的定义是通过其所在空间中元素和元素的邻近程度来刻画的。

弗雷歇首先定义两个元素间的距离，即由具有任意特性的元素构成的空间中，对于空间中的任意两个元素A和B，都存在着一个实数，用(A，B) 来表示，这个实数称为A和B之间的距离，如果它满足下面三条性质:

(1) (A，B)≥0;

(2) (A，B)= 0当且仅当A = B;

(3) (A，C) 与(B，C) 的和无限小时，就是(A，B)。

这里弗雷歇并没有明确地提到(A，B)=(B，A) ，同时第三条的意思也并不是特别清楚，但弗雷歇在他的博士论文中对这一条给出了精确的表述，可以看出弗雷歇实际上是想刻画邻域这个概念的。

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