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T矩阵

数学领域名词

T矩阵(T-matrix)是一类特殊的矩阵，可用于构作鲍默特-霍尔表，若G={g1，g2，…，gn}为加法可换群，X⊆G，M=(mij)，当gj-gi∈X时mij=1，否则mij=0，则称M是关于X的Ⅰ型关联矩阵，若X可划分为X=X1∪X2，使gj-gi∈X1时mij=1，gi-gj∈X2时mij=-1，gj-gi∉X时mij=0，则称M为Ⅰ型(0，1，-1)矩阵，若M1，M2，M3，M4是n阶可换群G上的4个(0，1，-1)矩阵，使对n2个位置的每一个恰有一个Mi在此位置上元素不为零，且M1MT1+M2MT2+M3MT3+M4MT4=nIn，其中In为单位矩阵，则称这4个矩阵为T矩阵，若存在t阶T矩阵，则存在t阶鲍默特-霍尔表BH[4t]，许多已知的BH[4t]是从T矩阵得到的。

基本介绍
设
是长为n的(0,±1)-序列，若
(i)对1≤j≤n，恰有一个为±1,其余3个均为0，
(ii)对1≤j≤n-1,恒有
则称是一组不相交T-序列。简称T-序列(T-sequence)。
对上述T-序列，设1≤i≤4，令Xi表示以Ai为第一行而生成的n阶循环矩阵，则称为一组n阶不相交循环T-矩阵，简称循环T-矩阵。
用T-矩阵构造Baumert-Hall阵列
引理1设为n阶循环T-矩阵。则
(i)1≤i,j≤4,i≠j,则Xi与Xj不相交,即
(ii)是一个(1,-1)-矩阵；
(iii)
(iv)对1≤i≤4,Xi的各行和都相等,设Xi的行和为ni,则
下述定理给出构作Baumert-Hall阵列的一个强有力方法。
定理1(Cooper，J.Wallis) 设为n阶循环T-矩阵，a，b，c，d为交换变元，令
再设R为下述n×n矩阵：
将式(6)与式(7)代入下述Goethal-Seidel阵列
则得到一个OD(4n；n，n，n，n)。
在上述定理中，若取a=b=c=d=1，则得到一个4n阶H-阵，于是得到下述结果。
定理2若存在一组长为n的T-序列。则存在4n阶H-阵。
由定理1与定理2可见T-序列在构作Baumert-Hall阵列和Hadamard矩阵时所起的重要作用。一般来说，寻求长为n的T-序列并不容易。由引理1之(iv)可知。设是一组长为n的T-序列，又设Ai中所有元素的和为ni，1≤i≤4，则必有
这一观察有助于寻找T-序列。由Lagrange四平方和定理，任一正整数n都能表为4个非负整数的平方和，但是否对每一个正整数n都存在长为n的T-序列?这是一个尚未解决的问题，从对构作Hadamard矩阵的应用而言，我们主要关心n为奇数时T-序列的存在性。
猜想1 设n≥1为奇数，则存在长为n的T-序列。
若上述猜想成立，则作为其推论，Hadamard猜想也就得到证明。
定理3若4n≤200，则4n阶H-阵存在。
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