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z检验

服从标准正态分布统计量的检验方法

Z检验（Z Test）又叫U检验。由于实际问题中大多数随机变量服从或近似服从正态分布，U作为检验统计量与X的均值是等价的，且计算U的分位数或查相应的分布表比较方便。通过比较由样本观测值得到的U的观测值，可以判断数学期望的显著性，我们把这种利用服从标准正态分布统计量的检验方法称为U检验（U-test）

定义
设 为取自正态总体 的一个容量为 的样本， 与 分别为样本均值与样本方差， 为已知常数， . 以下分别是关于未知参数 的U检验方法。
（1）已知 ，检验
选择统计量
在 成立的假定下， 服从 分布，对给定的显著性水平 ，查标准正态分布表可得临界值 ，使得
这说明
为小概率事件。将样本值代入算出统计量的值 。如果 ，则表明在一次试验中小概率事件 出现了，因而拒绝 ，接受 。在以上的假设检验问题中，当构造小概率事件时，利用了统计量 的概率密度曲线两侧尾部的面积，这样的检验称为双侧检验。这里采用双侧检验有直观的解释：因为任何情况下， 都是未知参数 的无偏估计，所以当 成立时，即 时， 与 不应相差太大。因此，对于固定的样本容量 ，如果 太大，则有理由怀疑 的正确性，从而认为 与 有显著差别。 大到什么程度才有足够的理由拒绝 呢？这需要由给定的显著性水平 查得的临界值 来决定。
（2）已知 ，检验
选择统计量
并令
则. 若 成立，还有
对给定的，由标准正态分布表可得临界值，使得
即
这说明事件“” 为小概率事件。因此的拒绝域为. 将样本值代入算出统计量的值，若，则拒绝，接受；否则可接受。
在以上的假设检验问题中，当构造小概率事件时，利用了的分布概率密度曲线的单侧尾部的面积，这样的检验称为单边检验。直观解释是：如果 成立，即 比 的值就不能大得太多。因此，对于固定的样本容量 ，如果太大，则有理由怀疑 的正确性。至于大到什么程度才有足够的理由拒绝 呢？这需要由给定的显著性水平 查得的临界值来决定。
示例
例题：某电器零件的平均电阻一直保持在2.64欧姆，如果改变工艺前后电阻的标准差都保持在0.06欧姆。经工艺改变后测得n=100个零件，其平均值=2.62欧姆，问新工艺是否使此零件的电阻变小？
解 假定该电器零件的电阻服从正态分布，而且可以认为=0.06欧姆。因此考虑对假设的检验，由所提的对立假设可知，应取单侧拒绝域
如果取=0.01，查标准正态分布表可知，而
因为，所以拒绝原假设而接受对立假设，即认为新工艺使零件的电阻显著变小，而检验的值需要查分位数表。更一般地，可以由计算机计算给出，此处为
Matlab实现
语法
[H,SIG]=ztest(X,M,sigma,ALPHA,TAIL)
描述
X为样本值，M为，sigma为标准差，ALPHA为显著性水平。TAIL=0时，表示备择假设为“期望值不等M”（双边检验）；TAIL=1时，表示备择假设为“期望值大于M”（单边检验）；TAIL=-1时，表示备择假设为“期望值小于M”（单边检验）。
当标准差sigma已知时，函数执行一正态检验来判断是否来自一正态分布的样本的期望值，M作为评判标准来估计。在没有重新设置的情况下，ALPHA和TAIL的默认值分别为0.05和0。
SIG为当原假设为真时得到的观察值的概率，当SIG为小概率的时候则对原假设提出置疑。H=0表示在显著水平为ALPHA的情况下，不能拒绝原假设；H=1表示在显著性水平为ALPHA的情况下，拒绝原假设。
举例
例题：给定一组某厂生产的纽扣直径的数据，假设其直径，已知，并且在标准情况下，纽扣的平均直径应该是26(mm)，问：是否可以认为这批纽扣的直径符合标准？（显著水平=0.05）
解：总体均值和已知，则，问题就化为根据样本值来判断还是，为此提出假设：
原假设：
备择假设：
Matlab实现过程如下：
>>x=[26.01,26.00,25.98,25.86,26.32,25.58,25.32,25.89,26.32,26.18]
程序运行结果如下：
x=
Columns 1 through 6
26.0100 26.0000 25.9800 25.8600 26.3200 25.5800
Columns 7 through 10
25.3200 25.8900 26.3200 26.1800
>>[H,SIG]=ztest(x,26,4.2,0.05,0)
程序运行结果如下：
H=
SIG=
0.9622
结果H=0，说明在0.05的水平下，不能拒绝原假设，即认为这批纽扣的直径符合标准。
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