∞

无穷大符号

∞是表示无限的符号。

简介

无限符号的由来

古希腊哲学家亚里士多德（Aristotle,公元前384-322）认为，无穷大可能是存在的，因为一个有限量是无限可分的是不能达到极点的，但是无限是世界上公认不能达到的。

12世纪，印度出现了一位伟大的数学家布哈斯克拉（Bhaskara），他的概念比较接近现代理论化的概念。

沃利斯（John Wallis）的论文《算术的无穷大》（1655年出版）一书中首次提出的。

无限符号的等式

在数学中，有两个偶尔会用到的无限符号的等式，即：∞=∞+1，∞=∞×1。

某一正数值表示无限大的一种公式，没有具体数字，但是正无穷表示比任何一个数字都大的数值。符号为+∞，同理负无穷的符号是-∞。

传闻

莫比乌斯带常被认为是无穷大符号“∞”的创意来源，因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。但是这是一个不真实的传闻，因为“∞”的发明比莫比乌斯带还要早。

输入方法

搜狗拼音输入法

(2)按“Ctrl”+“Shift”+“B”-特殊符号-数学/单位-左上角最下面一行就有，点击即可 (旧版)

(3)按“Ctrl”+“Shift”+“V”-数学/单位-第二大框第二行第一个，点击即可 (搜狗输入法7.6正式版)

QQ拼音输入法

(1)输入“fuhao”（符号），按分号或按i打开符号输入器，在“数学/单位中”找到∞。

(2)输入“v1”，按几次PageDown翻页后找到∞，按无限前的字母，打出∞。

(3)输入“wuxian”（无限），找到符号“∞”即可。

百度输入法

(1)输入“wuqiong”（无穷）

(2)设置，符号，数字/单位，第二个框表最后一个即是∞。

万能五笔输入法

类似百度输入法。

Windows

(1)按住Alt键（换挡键），依次按下小键盘中的“41438”，再放开Alt健即可。

(2)可以直接将“∞”复制下来，再粘贴到相应的位置。

(3)使用公式编辑器。

(4)微软输入法: 按住win键+.(点)符号弹出的窗口→点击符号→数学符号→找到即可。

发展历史

早期无限的观点

最早关于无限的记载出现在印度的夜柔吠陀（公元前1200－900）。书中说：“如果你从无限中移走或添加一部分，剩下的还是无限。”

印度耆那教的经书《Surya Prajnapti》(c. 400 BC) 把数分作三类：“可计的”、“不可计的”及“无限”。每一类再细分作三序分：

可计的：小的、中的与大的。不可计的：接近不可计的、真正不可计的与计无可计的。无限：接近无限、真正无限与无穷无尽。这是在人类记载上第一次出现无限也可以分类这一个念头。

文艺复兴到近代

伽利略最先发现一个集合跟它自己的正适子集可以有相同的大小。

他用上一一对应的概念说明自然数集{1, 2, 3, 4 ...}跟子集平方数集{1,4,9,16,...}一样多。就是1→1、2→4、3→9、4→16、.....

一一对应正是用于研究无限必要的手法。

莫比乌斯带

公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰·李斯丁发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”。（也就是说，它的曲面只有一个）

无穷的应用

无穷或无限，数学符号为∞。来自于拉丁文的“infinitas”，即“没有边界”的意思。它在神学、哲学、数学和日常生活中有着不同的概念。通常使用这个词的时候并不涉及它的更加技术层面的定义。

在神学方面，例如在像神学家邓斯·司各脱（Duns Scotus）的著作中，上帝的无限能量是运用在无约束上，而不是运用在无限量上。在哲学方面，无穷可以归因于空间和时间。在神学和哲学两方面，无穷又作为无限，很多文章都探讨过无限、绝对、上帝和芝诺悖论等的问题。

在数学方面，无穷与下述的主题或概念相关：数学的极限、阿列夫数、集合论中的类、戴德金的无限群、罗素悖论、超实数、射影几何、扩展的实数轴以及绝对无限。

数学中的无穷

对于无限有以下解释或定义

“无限不是指边界外就没有东西，而是指边界外永远有另一个边界存在。”

在数学方面，无穷与下述的主题或概念相关：数学的极限、阿列夫数、集合论中的类、戴德金－无限群、罗素悖论、超实数、射影几何、扩展的实数轴以及绝对无限。在一些主题或概念中，无穷被认为是一个超越边界而增加的概念，而不是一个数。

在大众文化方面，《玩具总动员》中巴斯光年的口头禅：“To infinity and beyond!”(到达无穷，超越无穷)，这句话也可被看作研究大型基数的集合论者的呐喊。

集合论中的无穷

在集合论中对无穷有不同的定义。德国数学家康托尔提出，对应于不同无穷集合的元素的个数(基数)，有不同的“无穷”。

这里比较不同的无穷的“大小”的时候唯一的办法就是通过是否可以建立“一一对应关系”来判断，而抛弃了欧几里得“整体大于部分”的看法。例如整数集和自然数集由于可以建立一一对应的关系，它们就具有相同的无穷基数。

例如，可数集合，如自然数集，整数集乃至有理数集对应的基数被定义为阿列夫0。

比可数集合“大”的称之为不可数集合，如实数集，其基数与自然数的幂集相同。

由于一个无穷集合的幂集总是具有比它本身更高的基数，所以通过构造一系列的幂集，可以证明无穷的基数的个数是无穷的。然而有趣的是，无穷基数的个数比任何基数都多，从而它是一个比任何无穷大都要大的“无穷大”，它不能对应于一个基数，否则会产生康托尔悖论的一种形式。

数学运算

非零实数乘无穷大的结果

在叙述一个区间时，只有上限，则是（-∞，x）（x∈R）；只有下限，则是（x,+∞）（x∈R）；既没有上限又没有下限，则是（-∞,+∞）。

在高等数学中，规定：x为实数，当x＞0时，x÷0=+∞；当x＜0时，x÷0=-∞；当x=0时，x÷0=NaN。

+∞与正实数加、减、乘、除、乘方、开方运算，结果永远是+∞；-∞与正实数加、减、乘、除、乘方、开方运算，结果永远是-∞。（0×±∞无意义）

+∞在某种意义上可以表达为x+1，因为x是表达任意实数的符号，而无限一定大于任何任意实数，而0.999...999（0.9的无限循环）=1的悖论显示无限或许是无限大到能涉及更高一个层面（因为0.9的无限循环是小于1的小数却等于1）

零乘无穷大的结果

零乘无穷大可以等于任意实数。下面就来论证这一点。

考虑过原点在第一象限的直线，其方程可以写成y=k*x。往逆时针的方向旋转这条直线使之靠近y轴。当直线越来越近y轴的时候，k变得越来越大，当直线无限接近y轴的时候，k无限制地增大，当直线与y轴重合时，k是无穷大。也就是说，y轴的方程可以写成y=∞*x，当x=0时，根据y轴的定义，y可以是任意实数，也就是∞*0=a，a是任意实数。

这条等式与微积分的经验是完全相符的。

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