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一般项级数

数学术语

数项级数的收敛性问题是数学分析中研究的基本内容之一。数项级数主要分为正项级数和一般项级数，一般项级数的收敛性判别问题要比正项级数复杂。在此，我们只讨论某些特殊类型的级数的收敛性问题，比如交错级数，绝对收敛级数，条件收敛级数。

交错级数
若级数的各项符号正负相间，即
则称（1）为交错级数。
对于交错级数，有下面常用的判别法。
定理1（莱布尼茨判别法）
若交错级数（1）满足下述两个条件：
（i）数列 单调递减；
（ii）
则级数（1）收敛。
推论1
若级数（1）满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数（1）的余项估计式为
对于下列交错级数应用莱布尼茨判别法检验，容易检验它们都是收敛的。
绝对收敛级数及其性质
若级数
各项绝对值所组成的级数
收敛，则称原级数（2）为绝对收敛级数。
定理2
绝对收敛级数一定收敛。
例1
级数
的各项绝对值所组成的级数是
应用比式判别法，对于任何实数都有
因此，所考察的级数对任何实数都绝对收敛。
若级数（5）收敛，但级数（6）不收敛，则称级数（5）为条件收敛级数。
例如级数（2）是条件收敛，而级数（3）、（4）则是绝对收敛。
全体收敛的级数可分为绝对收敛级数与条件收敛级数两大类。
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
下面讨论级数
收敛性的判别法。
定理3（阿贝尔判别法）
若为单调有界数列，且级数收敛，则级数（7）收敛。
定理4（狄利克雷判别法）
若数列单调递减，且，又级数的部分和数列有界，则级数（7）收敛。
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