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折叠角公式

数学名词

设O为面上一点，过平面外一点B的直线BO在面上的射影为AO，OC为面上的一条直线，那么∠COB，∠AOC，∠AOB三角的余弦关系为：cos∠BOC=cos∠AOBcos∠AOC（∠AOC，∠AOB只能是锐角）

证明
如右图，可知AB⊥平面α，取OC上一点C使得∠OCA=90°，即OC⊥AC。
根据三垂线定理可得BC⊥OC
在Rt△BOA中
①
在Rt△COA中
②
在Rt△COB中
③
比较①、②、③三式可知
即得证
例题使用
如右图，点O是正方形纸片ABCD的中心，点E，F分别为AD，BC的中点，现沿对角线AC把纸片折成直二面角，则纸片折后∠EOF的大小为多少？
考点：折叠角公式的应用
专题：计算题（折叠角公式的应用）
分析:过点F作FG垂直于AC，G在AC上，连接GE，由折叠角公式可得cos∠EOF=cos∠FOG·cos∠GOE，根据正方形的性质及等腰直角三角形的性质，易得∠AOF=135°，∠AOE=45°，进而可以求出∠EOF的余弦值，进而得到∠EOF的大小．
解答：解：过F作FG垂直于AC，G在AC上，连接GE；
∵二面角B-AC-D为直二面角，
∴FG⊥平面ACD（直二面角的性质），
∵FO为平面ADC的斜线，OE在平面ADC内，
由折叠角公式得：cos∠EOF=cos∠FOG·cos∠AOE…（1）
∵∠FOG=180°-∠AOF，∠GOE=180°-∠AOE（邻补角定义），代入（1）得：
cos∠EOF=（-cos∠AOF）·（-cos∠AOE），
即cos∠EOF=cos∠AOF×cos∠AOE．
由∠AOF=135°，∠AOE=45°
∴cos∠EOF=cos135°·cos45°=-0.5
则∠EOF=120°
点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中过F作FG垂直于AC，为折叠角公式的使用创造条件，是解答本题的关键．
注明：折叠角公式以及三正弦定理的应用为立体几何的解题带来了许多方便。
公式特点
辅助记忆：这三个角中，∠COB是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积。斜线与平面所成∠AOB是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。
（运用时可以背诵成，横的角乘以竖的角等于斜的角）
推论一
PO是平面α的一条斜线，PH⊥α，垂足为H，l为平面α内任意一条直线
（与OH的射影不重合也不平行），设PO与直线l所成角为θ，PO与平
面α所成角为θ1，OH与直线l所成较小角为θ2，则cosθ=cosθ1cosθ2
推论二
折叠角公式（三余弦定理）逆定理依旧成立
推论三
从空间一点O引出的三条射线OA、OB、OC满足
∠AOC=∠AOB×∠BOC，则面AOB⊥面BOC
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