三角形面积公式

数学公式

计算三角形面积的公式称为三角形面积公式。

相关概念

三角形

平面上不共线的三点以及每两点连接的线段组成的封闭图形(包括其内部)叫做三角形,符号为，或者，也可以将不在同一条直线上的三条线段首尾依次相连形成的图形称为三角形，这两条定义等价。

三角形有三个顶点，三条边，每条边都对应一条高，每个顶点处都有一条角平分线，每条边上都有一条中线(顶点与对边中点的连线)和高(顶点关于对边的垂线)。三角形的三条高，三条中线，三条角平分线，三条边的垂直平分线分别交于同一个点，称为垂心，重心，内心和外心。具体的可以在相关条目中查看。

如下图，在三角形中，把三点称为三角形的顶点，把三条线段称为三角形的边，把过点的与边所在直线的垂直的以点和垂足为端点的线段为在边上的高。

三角形可以使用不同的方法进行分类。按角分有直角三角形(三个角中有一个角是直角)，钝角三角形(三个角中有一个角是钝角)，锐角三角形(三个角全是锐角);按边分有等腰三角形(至少有两条边长是相等的)，等边三角形(三条边全部相等)。锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。不同的三角形可以有不同的特殊形式的面积计算公式。

面积

严格地说，面积是图形在两个不同方向上同时延展的可能性及程度在人脑中的反映而形成的概念。衡量物体表面或平面图形的大小的概念称为面积。平面图形的大小，是从这个平面图形占有的空间的范围大小的比较中产生的，因此表示平面图形大小的数量也是在比较中产生的。常选定一个正方形作为与平面图形比较的标准，并规定该正方形的面积为1，称为单位正方形。一个平面图形与单位正方形相比较之后所得的量数就是该平面图形的面积。

符号说明

如下图,

在下面的所有说明和证明中的记号和标记与此处的说明保持一致。

图中的大三角形的顶点附近有标记，将这三个点称为点，点，和点。那么就表示以符号中的标记对应的两个点为顶点的线段，在这张图中就分别对应三角形的三条边。

那么，这个三角形就可以用它的顶点来表示，把这个三角形记为，与顶点的记号相对应的小写字母(和,和,和)表示该顶点的对边，也可表示这条边的长度(如，可以表示边也可在计算中表示的长度；可以表示边，也可在计算中表示的长度；可以表示边，也可在计算中表示的长度。)

一般用来表示三角形的高，在这张图中这条高为线段，它是三角形的顶点对应的高，位于边上。点既是高的端点又是它和边的交点，也是它和边的垂足。注意，表示的不是的对边的边长，因为不是三角形顶点的标记。

如果在同一张图中出现不同的三角形，可以通过给标记加下标等方式标记不同三角形的高和它们的垂足来区分。

此外，表示角或者角的大小时，一般用符号表示，其中是角的顶点，和是角的两条边。在不会引起歧义的时候，可以把和省略，用表示以为顶点的角的大小.比如在这张图中，可以用来表示以和为边，为顶点的角的大小。类似的，表示以和为边，为顶点的角的大小。但是用在这张图中一般是不允许的，因为以为顶点的角有三个。

不过，在下面的证明和说明中，约定，表示，表示，表示，表示边，表示边，表示边。

简史

三角形面积公式最初产生于土地的测量，早在古埃及《莱茵德纸草》中就有三角形面积为腰长与底边乘积的一半这一算法。公元1世纪，古希腊数学家海伦(Heron)在其所著的《度量论》一书中给出了一个用三角形三边表达三角形面积的公式，即海伦公式。中国古代数学家刘徽(公元225年~295年)，在其著作《重差》一卷中采用出入相补原理将三角形的高等分，以盈补虚拼成一个长方形，其面积为，正好是原三角形面积。公元8世纪，阿拉伯数学家阿里·花剌子米(al-Khowarizmi)在其所著《代数学》一书中也给出了类似海伦公式的公式，但形式不一。1247年前后，中国宋代数学家秦九韶在其所著《数书九章》中，也给出了一个用三边表达三角形面积的公式“三斜求积式”，该公式与海伦公式等价。但秦九韶并没有在《数书九章》中给出这一公式的证明，清代初期数学家梅文鼎在《平三角举要》中利用中国传统命题(已知股弦和、勾,求股、弦)补证了秦九韶这一公式。

1637年，法国数学家笛卡尔(Descarles)出版了《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》一书，《几何学》为此书的三个附录之一，《几何学》的出版被认为是解析几何的起点.在《几何学》中，笛卡尔把几何问题转化为代数形式的问题，随着数学的进一步发展，行列式、矩阵的概念被引入，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标，也可以求得三角形的面积。

一般情况下不同形式的三角形面积公式及推导

一般形式

下图中表示三角形的底边的长，表示三角形的底边上的高的长度(图中红色虚线的长度)。

三角形的面积等于底边长乘以该边上的高再乘。

接下来会借助矩形的面积公式（长乘宽）来对这个公式进行说明。

如图2，将图中的大矩形沿着三角形的高分割后得到两个小矩形和，同时也将三角形分割成两个小三角形和。

分割出的两个小三角形和分别由两个小的矩形的长，宽与一条对角线构成它的三条边，此时两个小矩形和的面积分别是两个小三角形和的两倍。

事实上，每个矩形能够分割成两个这样的三角形，但是这样的两个三角形的三条边长度分别相等——它们共用一条对角线，而长边和长边长度相等，宽边和宽边的长度相等。由此可知，这两个三角形的形状是“完全相同”的，因此它们的面积也是相等的。

当然，也可以有一种更简单的方法来验证这一点——找一张矩形白纸，沿着对角线裁成两个三角形。那么，如果不考虑裁纸操作本身造成的误差，裁出的这两个三角形纸片理论上一定是能够完全重叠的，因此，它们的面积是相等的。

而两个这样的面积相等的三角形的面积之和和矩形的面积相等，由此可得知三角形面积为矩形的一半。矩形面积为，故三角形面积为。

海伦公式(三斜求积术)

海伦是公元1世纪古希腊的数学家，在他的《测地术》一书中，提出了这个已知三角形的三边求面积的公式。这个公式，人们归功于他，但实际上是阿基米德最早得出了这个公式。

内容如下:已知三角形的三边长为，令，则三角形面积为

1247年，中国南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提出了三斜求积术：

把海伦公式的形式稍微变换一下，就得到三斜求积术的表达式：

由上述表达式中的对称性与相同地位，可以得到：

证明：

三角形三边长度如图3所示。

则假设段长度为，则由勾股定理，可得。

解得。

则边上的高。

则三角形面积为

公式得证。

正弦值定义法

如图4，的值为。图中所有符号都和前面的符号说明最后的约定保持一致。则由正弦函数定义（直角三角形中对应锐角的斜边与对边的比值）可知在直角三角形中，，也就是说，。

因此，的面积为。（底乘高除以2，以为底，为高。）

由此，再由正弦定理可以得到：若已知记为，，记为，边的长度为,则有

内切圆半径法

如图 5所示，记三角形内切圆圆心为，则画出点和三条顶点的连线，那么将这个三角形分割成三个小三角形，大三角形的面积就等于三个小三角形面积的和。这三个小三角形的面积是容易计算的——因为内切圆与三角形的三条边都是相切的，所以圆心到三角形三条边的垂线段的长度就是内切圆的半径，也就是小三角形的高。而三个小三角形的底边就是大三角形的三条边，因此我们可以求出大三角形的面积的表达式为

外接圆半径法

如图6所示。此处的符号与前面在相关概念最后的约定的保持一致，但是表示三角形的外心（即三角形外接圆的圆心，也就是与三角形的三个顶点的距离完全相同的点，线段的长度相同，记为）。

三角形的外心与三角形的三个顶点之间的线段将三个角分成两个部分,但是由于是等腰三角形，知道，它们的大小分别记为。

在这个证明中需要作两条辅助线：延长线段到点，为这段延长线和三角形外接圆的交点。连接两点，作线段。

则由圆的内接三角形的性质，知道。在直角三角形中,有。

经过简单的整理以及对其他角的类似操作，得到

因此三角形面积为

行列式形式(解析几何)

以的一个顶点为原点，建立平面直角坐标系。

分别记点的坐标为和。

则三角形面积可以表达为：

显然，若不在原点，则将相关坐标替换为坐标差即可。

此时，有

海伦-秦九韶三角形中线面积公式

如图8，三个顶点所对应的中线长分别为，对边长分别为，三条中线交于点。

则由几何知识可以推得，三条中线将图中三角形分割成的 6 个小三角形面积相等。

故而三角形的中线被重心分成两段，由面积关系可以知道

延长线段到点，使得线段。显然，，这两个三角形关于点中心对称。取中点为连接与交于。

则为三角形的重心。

由全等关系，可知

而由此可知，的面积是的。

与此同时，的三条边长分别是的三条中线长的。

所以对利用海伦公式求面积即可得到如下公式：

特殊三角形的面积公式

等边三角形

如图9，由特殊点和处的三角函数值，易知则三角形的面积为

等腰三角形

对于等腰三角形，一般而言会直接运用一般形式的三角形面积公式来计算面积，不过等腰三角形底边上的高相对于一般的三角形有关系式（运用勾股定理）。

直角三角形

如图11，在直角三角形中，我们有（因为直角三角形的两条直角边相互垂直，所以每条直角边上的高都与另一条直角边是重合的）。

所以利用勾股定理可以求得。

等腰直角三角形

如图所示，三角形面积（因为直角边长为的等腰直角三角形能够看作是边长为的正方形沿着对角线分割出的一半）。

人物介绍

海伦

提起古希腊数学家海伦，人们立刻想到的是由三边求三角形面积的海伦公式。但根据10~11世纪的一位阿拉伯学者比鲁尼所述，这一公式是阿基米德(Archimedes，公元前287-前212)首先得出的，这一观点目前得到公认,但该公式确实是由海伦流传下来的。海伦是古希腊亚历山大后期(从公元前30年到公元600年)的著名数学家，他的生卒年代及生平事迹都没有留下记载。人们根据他的著作《测量仪器》中描述他对一次月食的观测所提出的数据，推算他在公元62年前后活跃在当时的古希腊学术中心——亚历山大。关于海伦公式的论述包含在他的著作《度量论》中，海伦公式带有根号，因此对许多三角形来说,虽然边长都是整数，但面积一般是无理数。在《度量论》一书中，海伦举出一个奇妙的例子——边长和面积都是整数，即

后来人们称边和面积都是整数的三角形为“海伦三角形(HeronischeDreiecke)”，这种三角形的三边为“海伦三数组(Heroniontriple)”。海伦留下了大量学术著作，除《度量论》外，还有《测量仪器》《气体力学》《自动舞台》《武器制造法》等。他在著作中大量引用前人的成果，如经常提到阿基米德、柏拉图(Plato)等，他大胆地使用某些经验性的近似公式，特别注重数学的实际应用，这在古希腊数学中是别具一格的。数学的应用使他发明了许多精巧的器械，如解决测量问题的“照准仪”，利用蒸汽使气球在喷出汽时发生旋转的“汽转球”等。

刘徽

刘徽是三国时代魏国人，籍贯山东临淄，生卒年代不详，中国古典数学理论的主要奠基人。刘徽的主要著作包括《九章算术注》《重差》(至唐代更名为《海岛算经》)一卷和《九章重差图》一卷。刘徽是世界上最早提出十进制小数概念和第一位引入极限概念的人，他对许多概念给出了定义，并在证明许多重要公式、原理时，注意逻辑推理和运用直观手段。其中，刘徽从圆规、矩尺度量的统一出发，引出面积、体积、率、正负数等概念，运用齐同原理、出入相补原理，无穷小分割方法等，以演绎逻辑为主要推理方法，以计算为中心，以率为纲纪，用“出入相补”原理证明了勾股定理以及一些求面积和求体积公式，在其著作《重差》一卷中刘徽采用“出入相补”原理将三角形的高等分，以盈补虚拼成一个长方形，证明了三角形面积为底乘高的一半。

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