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三角恒等式

数学等式

三角恒等式，是关于三角函数的一些已证明的恒等式，诱导公式有两角和差、二倍角公式、三倍角公式等。

基本定义
三角函数
sinθ（正弦）cosθ（余弦）tanθ（正切）cotθ（余切）secθ（正割）cscθ（余割）
(注：“ θ ”在此处指三角形中的参与计算的角的角度)
诱导公式
推导方法
定名法则
90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变”。
定号法则
假设α为锐角（注意是“假设”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”（或为“奇变偶不变，符号看象限”）。
在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变，若为奇数时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中α所在象限的正负号。关于正负号有个口诀；一全正，二正弦，三两切，四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角，正弦为正，第三象限，正切和余切为正，第四象限，余弦为正。或简写为“ASTC”，即“all”“sin”“tan+cot”“cos”依次为正。还可简记为：sin上cos右tan/cot对角，即sin的正值都在x轴上方，cos的正值都在y轴右方，tan/cot 的正值斜着。
比如：90°+α。定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin（90°+α）=cosα , cos（90°+α）=-sinα 这个非常神奇，屡试不爽~
还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin（90°+α），90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即sin变为cos，所以sin（90°+α）=cosα。
基本公式
sin（2kπ+α）=sinα；cos（2kπ+α）=cosα；
tan（kπ+α）=tanα；
cot（kπ+α）=cotα；sec（2kπ+α）=secα；
csc（2kπ+α）=cscα；
sin（π+α）=－sinα；cos（π+α）=－cosα；
tan（π+α）=tanα；
cot（π+α）=cotα；sec(π+α)=－secα；
csc（π+α）=－cscα；
sin（－α）=－sinα；cos（－α）=cosα；
tan（－α）=－tanα；
cot（－α）=－cotα；sec（－α）=secα；
csc（－α）=－cscα；
sin（π－α）=sinα；cos（π－α）=-cosα；
tan（π－α）=－tanα；
cot（π－α）=－cotα；sec（π－α）=-secα；
csc（π-α）=cscα；
sin（α-π）=－sinα；cos（α-π）=－cosα；
tan（α-π）=tanα；
cot（α-π）=cotα；sec(α-π)=－secα；
csc（α-π）=－cscα；
sin（2π－α）=－sinα；cos（2π－α）=cosα；
tan（2π－α）=－tanα；
cot（2π－α）=－cotα；sec（2π－α）=secα；
csc（2π－α）=－cscα；
sin（π/2+α）=cosα；cos（π/2+α）=－sinα；
tan（π/2+α）=－cotα；
cot（π/2+α）=－tanα；sec(π/2+α)=－cscα；
csc（π/2+α）=secα；
sin（π/2－α）=cosα；cos（π/2－α）=sinα；
tan（π/2－α）=cotα；
cot（π/2－α）=tanα；sec（π/2－α）=cscα；
csc（π/2－α）=secα；
sin（3π/2+α）=－cosα；cos（3π/2+α）=sinα；
tan（3π/2+α）=－cotα；
cot（3π/2+α）=－tanα；sec（3π/2+α）=cscα；
csc（3π/2+α）=－secα；
sin（3π/2－α）=－cosα；cos（3π/2－α）=－sinα；
tan（3π/2－α）=cotα；
cot（3π/2－α）=tanα；sec（3π/2－α）=－cscα；
csc（3π/2－α）=－secα；
两角和差
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
和差化积
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
积化和差
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
二倍角公式
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2
tan(2α)=2tanα/[1-(tanα)^2]
cot(2α)=(cot2α-1)/(2cotα)
sec(2α)=sec2α/(1-tan2α)
csc(2α)=1/2*secα·cscα
三倍角公式
sin(3α) = 3sinα-4(sinα)^3= 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
cos(3α) = 4(cosα)^3-3cosα= 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α) = (3tanα-(tanα)^3)/(1-3(tanα)^2) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
cot(3α)=((cotα)^3-3cotα)/(3cotα-1)
倍角公式
根据欧拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ
将左边用二项式定理展开分别整理实部和虚部可以得到下面两组公式
sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…
cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α
半角公式
sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2] =±√[(1+cosα)/2]
tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα
cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cotα)=cscα+cotα
sec(α/2)=±√[2secα/(secα+1)] csc(α/2)=±√[2secα/(secα-1)]
辅助角Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin[α+arctan(B/A)] Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos[α-arctan(A/B)]
万能公式
sin(a)=[2tan(a/2)]/[1+tan^2(a/2)] cos(a)=[1-tan^2(a/2)]/[1+tan^2(a/2)]
tan(a)=[2tan(a/2)]/[1-tan^2(a/2)]
降幂公式
(sinα)^2=[1-cos(2α)]/2
(cosα)^2=[1+cos(2α)]/2
(tanα)^2=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]
三角和
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数， 这种级数称为幂级数。
泰勒展开式又叫幂级数展开法
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……
e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… (-∞＜x＜∞)
ln(1+x)=x-x2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|＜＜1)
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。 (-∞＜x＜∞)
cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞＜x＜∞)
arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……+(2k+1)!!*x^(2k+1)/(2k!!*(2k+1))+……(|x|＜1) !!表示双阶乘
arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……)(|x|＜1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)
sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(x^(2k-1))/(2k-1)!+…… (-∞＜x＜∞)
cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(x^(2k))/(2k)!+……(-∞＜x＜∞)
arcsinh x =x - x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) -1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……(|x|＜1)
arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|＜1)
在解初等三角函数时，只需了解三角函数的计算方法并且记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。
傅里叶级数
傅里叶级数又称三角级数
f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)
a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx
an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx
bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx
记忆口诀：
奇变偶不变，符号看象限
其他信息
设A，B，C是三角形的三个内角
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
周氏公式:
sinAsinB+sin(A+B+C)sinC=sin(A+C)sin(B+C)
应用
（一）不等式的证明
已知A，B，C是三角形的三个内角
求证cotA+cotB+cotC＞=√3
cotA+cotB+cotC=cotA+cotB-cot(A+B)＞cotA+cotB-cot(B)=cotA＞0
(cotA+cotB+cotC)^2＞=3(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)=3
所以cotA+cotB+cotC＞=√3
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