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下界

数学名词

存在一个实数a和一个实数集合B，使得对∀x∈B，都有x≥a，则称a为B的下界（lower bound）。相反，在数学中，特别是在秩序理论中，在某些部分有序集合（K，≤）的子集S里面，大于或等于S的每个元素的K的那个元素，叫做上界。而下界被定义为K的元素小于或等于S的每个元素。

简介
存在一个实数a和一个实数集合B，使得对∀x∈B，都有x≥a，则称a为B的下界（lower bound）。在数学中，特别是在秩序理论中，在某些部分有序集合（K，≤）的子集S里面，大于或等于S的每个元素的K的那个元素，叫做上界。下界被定义为K的元素小于或等于S的每个元素。
定义
考虑一个实数集合M。如果有一个实数S，使得M中任何数都大于S，那么就称S是M的一个下界。
用数学符号表示为：对∀x∈M，都有x≥s，则称s是M的下界（lowerbound）。
确界原理：若集合M有上界，则必有上确界；若集合M有下界，则必有下确界。
上确界定义：设S是R中的一个数集，若数η∈S满足
（i）对∀x∈S，有η≥x，即η是S的上界；
（ii）对∀a<η,存在x0∈S，使得x0>a，即η是S的最小上界（least upper bound），则称η为数集S的上确界；
下确界定义：设S是R的一个数集，若数ξ∈S满足：
（i）对∀x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界；
（ii）对∀β>ξ,∃x0∈S，使得x0<β，即ξ是S的最大下界（greatest lower bound），则称ξ为数集的S的下确界。
举例
例如，5是集合{5，8，42，34，13934}的下界。
另一个例子是对于集合{42}，数字42既是上界和下界，所有其他实数都不是该集合的上限或下限。
所有自然数的每个子集都具有下界，因为自然数具有最小元素（0或1，取决于自然数的确切定义）。 自然数的无限子集不能从上面界定。 整数的无限子集可以从下方界定或从上方界定。有理数字的无限子集可能来自也可能不会从下方界定，也可能不限于上述。
非空的完全有序集的每个有限子集都有上界和下界。
函数下界
下界的定义可以推广到函数甚至是一组函数。
给定具有域D和部分有序集合（K，），对于D中的每个x，如果yf（x），K中的元素y则是函数f的下界。
在D域定义并且具有相同代码域（K，），对于D中的每个x，如果g（x）≥f（x）均成立，则函数g是f的下界。
如果函数g是该集合中每个函数的下界，则进一步称为函数集合的下界。
函数的上界概念类似地定义，只要用“”替换“”即可。
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