互易定理

电磁学定理

在只含一个电压源（或电流源），不含受控源的线性电阻电路中，电压源（或电流源）与电流表（电压表）互换位置，电流表（电压表）读数不变。这种性质称为互易定理。

基本电路

定理阐释

互易定理即论述某些网络具有的互易性质的定理。互易性质表现为：将网络的输入和特定输出互换位置后,输出不因这种换位而有所改变。具有互易性质的网络称为互易网络。互易性不仅一些电网络有,某些声学系统、力学系统等也有。互易定理是一个较有普遍意义的定理。

互易双口

对于仅含线性时不变二端电阻和理想变压器的双口网络，称为互易双口。

对于互易双口，存在以下关系，及所说的互易定理：

R12=R21

G12=G21

H12=-H21

T11T22-T12T21=1

性质

从图1中可以得出结论，图1(a)的电压u2=R21/S与图1(b)的电压u1=R12/S相同。也就是说，在互易网络中电流源与电压表互换位置，电压表读数不变。

图2(a)的电流i2=G21uS与图2的电流i1=G12uS相同。也就是说互易网络中电压源与电流表互换位置，电流表读数不变。

应用条件

并非任何一个网络都具有互易性质。一般地说,由线性时不变的二端电阻元件、电感元件、电容元件、耦合电感器和理想变压器连接而成的网络均有此性质。含有受控电源、非线性元件、时变元件、回转器的网络都不一定具有这种性质。

等效电路

由互易定理知道，互易双口只有三个独立参数，这就可以用右图3所示由三个电阻构成的Τ形或Ⅱ形网络等效。

图3(a)电路的网孔方程为：

U1=R1i1+(i1+i2)R3

U2=R3i1+(R2+R3)i2

与双口流控表达上式对比，令其对应系数相等可以得到：

R11=R1+R3

R22=R2+R3

R12=R21=R3

由此求得Τ形网络的等效条件为

R1=R11-R12

R2=R22-R12

R3=R12=R21

用类似方法，可求得Ⅱ形网络的等效条件为：

G1=G11+G12

G2=G21+G12

G3=-G12=-G21

电磁学

在电磁学上，互易定理为洛仑兹互易定理（Lorentz Reciprocity Theorem）,由卡森（J.R. Carson）导出而被称为卡森形式的互易定理。

互易定理可以利用麦克斯韦方程得到。设空间有两组源J1和J2，分别产生的场为E1、H1和E2、H2，如图4所示

则

(1)两个电流源J1和J2均在空间区域V外。

上式称为洛伦兹互易定理

(2)当V表示整个空间区时，S为无限大闭合面S∞。

上式称为称为卡森互易定理。

源与传感器

原理

源传互易原理支持者的依据主要有二：一是所谓的热力学证明，这已被证明为误；另一依据则可以简述如下：假定地表材料处处满足Helmholz互易原理，从给定方向i射入M个光子，最终有N个光子从方向v到达传感器。那么从传感器以二的反方向射出M个光子，则必将有N个光子从i的反方向回到原位置。

如果论及的光源和传感器均为几何点，这就是Helmholz互易原理本身。

证明与反论

假定两者均远离地面，因而人射光可视作平行光，而传感器最小传感单元也只接收地面对应像元反射向该传感单元的平行光，光源发出的平行光覆盖这一像元周围足够大的邻近区域，在地面和光源及传感器之间的大气完全透明。我们进而假定光源发射的平行光是空间上均匀的，即在地物上方水平表面上有处处相同的人照。我们将称这一紧贴地物最高点的水平面为参考表面，传感器在参考表面上形成的视场(即像元)为A。

如果A内以方向v向传感器的出射辐射是均匀的，也就是说，单位面积单位时间内射向传感器的光子数目处处相同，那末，我们总可以无限细分面积A，使得单位面积单位时间内每一个面积元平均一个光子射达传感器，共N个光子。

此时，我们假定以v的反方向，用同样的平行光源，在足够大的照明范围内，以原人射光相同的密度(MA/)射入光子，那末，在A内入射的光子，将有N个循原路径返回原人射位置。但迄今，我们仍未能证明源传互易成立。由于地表结构的复杂性，从A射入的光子，可能在A外逸出，而A外射入的光子，可能在A内逸出。

光学互易定理

光栅互易定理

-1级Littrow入射条件在光栅的应用和理论上都占有非常重要的地位，该条件下有个著名的互易定理，定理阐述如下：

1）当一束TM平面波垂直入射到一理想导体三角槽形光栅的一个斜面上时，如果另一斜面的长度是半波长的整数倍，且这个光栅的槽顶角为90°，那么，这时光栅第m级衍射波的衍射效率是100%。这个定理也叫Marechal—Stroke定理。

2）当一束TM平面波以90°-α的入射角在-1级Littrow状态下入射到闪耀角为α的阶梯光栅上时，如果λ/d>2/3，那么-1级衍射波的衍射效率是100%。

由互易定理可以得到，在λ/d>2/3的波段范围内，闪耀角互为余角的两个光栅在-1级Littrow状态入射下具有相同的衍射效率。-1级Littrow入射条件下光栅的衍射效率最具有代表性，其他入射条件可以看成是该状态下的近似，详细研究此入射状态下光栅的衍射效率对光栅的设计会起到事半功倍的作用。

亥姆霍兹定理

三度运算：标量场的梯度、矢量场的散度和旋度，即场的性质的量度，矢量场的性质由其散度和旋度确定：

亥姆霍兹定理可表示为，任一个矢量场由其散度、旋度以及边界条件所确定，都可以表示为一个标量函数的梯度与一个矢量函数的旋度之和。

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