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人工变量法

数学术语

在线性规划问题的单纯形法中，若标准化后找不到单位矩阵，可以采用人造基，给方程加入人工变量后，用大M法和两阶段法处理求解。是求解线性规划问题的一种方式。

定律定义
其公式如下：
→ ，其中Xs是xs松弛变量组成的向量。
正如上式所展示的那样，所有约束是(≤)，并且有非负右端项（bi≥0）的线性规划，化为标准形式是在每个不等式的左端添加一个松弛变量，这时约束等式左端的系数矩阵就含有一个单位矩阵I，取这个单位矩阵为初始基，很容易得到一个初始基本可行解，从而建立单纯形表。
但包含(=)和或（≥）约束条件则不是如此。对于（≥）型约束来说，标准化时需添加剩余变量，其系数为-1，而对(=)型约束，则没有松弛变量，因此存在这两种约束条件标准化后缺少足够的松弛变量的系数组成（诸如）十分直观的单位矩阵，也即无法不做变换地找到基本可行解。这时候可以利用人工变量x(artificial variables)类似松弛变量添加到等式中去，让它们在第一次迭代起着松弛变量的作用，并随后用某次迭代中再把这些人工变量去掉。
由于人工变量存在于初始基本可行解，而且人工变量是虚拟变量，它们在目标函数取极值时不应该存在数值，因此需要将它们从基变量中替换出来。若人工变量可以从基变量中替换出来，即基变量中不含有非零的人工变量，表示原问题有解；若人工变量不可以从基变量中替换出来，则表示原问题无可行解。
求解方法
加入人工变量后，一般可采用大M法或两阶段法处理。
大M法
如果是求极大值，即假定人工变量在目标函数中的系数为-M（M是任意大正数）；如果是求极小值，人工变量在目标函数中的系数为M。用单纯形法对模型求解，如基变量中还存在M，就不能实现极值。
两阶段法
用计算机处理数据时，只能用很大的数代替M，可能造成错误，故多采用两阶段法。
第一阶段：在原线性规划问题中加入人工变量，构造模型。构造模型的目标函数为：
用单纯形法对上述模型求解。若W=0，说明问题存在基本可行解，可以进行第二个阶段；否则，原问题无可行解，停止运算。
第二阶段：在第一阶段的最终表中，（1）去掉人工变量，（2）将目标函数的系数换成原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始表，用单纯形法计算。
求解结果
1、无可行解：运算到检验数全负为止，若仍含有人工变量在基可行解未进入非基变量，则无可行解。
2、退化：若计算出的用于确定换出变量的 有两个以上最小值，会造成下一次迭代中有一个或几个基变量等于零。
为避免退化，虽任意换出变量目标函数值不变，但此时不同的基却表示为同一顶点，其特例是永远达不到最优解，需作如下处理兰特Bland规则：
(1)当 中出现两个以上最大值时，选下标最小的非基变量为换入变量；
(2)当 中出现两个以上最小值时，选下标最小的基变量为换出变量。
适用范围
当存在(=)和或（≥）约束条件时使用该方法。
虽然标准化后可能存在单位矩阵可以不需要添加人工变量，但是它不具有代表性，而且人工变量法具有普适性，即使添加上了不妨碍结果，人工变量法比起寻找单位矩阵，无论在人工还是计算机计算时都有更高的可操作性。
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