代数数域

数学中代数数论的基本概念

代数数域是数学中代数数论的基本概念，数域的一类，有时也被简称为数域，指有理数域 ℚ 的有限扩张形成的扩域。任何代数数域都可以视作 ℚ 上的有限维向量空间。

简介

命为一个 n次代数数，即一个有理系数 n次不可约方程的根。

易证所有形如的数，此处为有理数，所构成的集合，对和、差、积、商（除数非零）是自封的，所以构成一个域，这就是有理数域添加所得的单扩张(simple extension)，常以记之。可以证明对于的任何有限扩张(finite extension) ，其中都是代数数，均可找到一个代数数使。因此，只要考虑的单扩张即可，称为一个代数数域。

所满足的不可约方程的次数即定义为的次数。

举例

最小最基本的代数数域是有理数域ℚ 。因为ℚ 自身是ℚ- 向量空间，维数是1。因此ℚ 是ℚ 自身的域扩张，。高斯有理数ℚ(i)（i为虚数单位）是数学家发现的第一个非平凡代数数域的例子，它是所有形同：的数构成的集合。

可以证明，ℚ(i)是域，而且是ℚ-向量空间，以为基，空间维数是2。所以ℚ(i)是ℚ的二次扩张，。

给定不是完全平方数的正整数或相反数不是完全平方数的负整数 d ，二次域在ℚ中添加d的平方根而得的扩域。与高斯有理数域类似，可以证明是ℚ-向量空间，以为基，空间维数是2，即。

考虑多项式方程 xn=1 的 n 个复根，它们被称做 n 次单位根，具体可以写作：。

在ℚ中添加得到的扩域称为 n 次分圆域，记作。可以证明是有限维ℚ-向量空间，维数为（φ是数论中的欧拉函数），即。

实数域 ℝ 、复数域ℂ和 p 进数域ℚp都不是ℚ的有限扩张，因此都不是代数数域。任何有限域都不是ℚ的扩域，因此也不是代数数域。全体规矩数构成的域 𝑪 和全体代数数构成的域 𝘼 （有时也被简称为代数数域，与本文主题同名，但不是同一个概念）不是ℚ的有限扩张，因此都不是代数数域。

代数整数

代数整数是指能够成为某个首一整数系数多项式的根的数。显然代数整数是一种代数数。任何整数n都是一次整系数多项式X - n的根，因此是代数整数。给定代数数域F，F中所有代数整数构成一个环，称作F中的（代数）整数环，也称为F-整数环，记作。例如ℚ上的代数整数环就是 ℤ ，因此在代数数域研究中ℤ也被称作“有理整数”（有理数域中的整数），以区别于其余的代数整数。

代数数域F中的整数环与 ℤ 有不同的代数性质。不一定是唯一分解整环。举例来说，设F=ℚ(−5)，F中的整数环是。都是中的“素数”。正整数6，作为中的元素，它的素因数分解有两种方式：

有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。这个事实说明了拉梅对费马大定理的证明是错误的。为此库默尔等引进了理想数来作为弥补，由此发展出理想理论。代数数论中一个重要的事实是：的每个理想都可以唯一表示为素理想的乘积，即为戴德金整环。这种“理想的唯一素分解”可部分弥补“代数整数一般不能唯一素因子分解”的不足，在历史上使代数数论发展起来。

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