伽罗瓦群

以发现者法国天才数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦命名的代数结构

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。而伽罗瓦群（Groupe de Galois）是与某个类型的域扩张相伴的群。是伽罗瓦理论的重要概念。

内容简介

伽罗瓦群是伽罗瓦理论的一个重要概念。设K是域F的伽罗瓦扩域，K的F自同构群G(K/F)称为K/F的伽罗瓦群。当K为F可分闭包时，G(K/F)称为F的绝对伽罗瓦群。若K是F的一个有限次伽罗瓦扩域，则G(K/F)是一个[K∶F]阶群。由于有限次伽罗瓦扩域等同于某一可分多项式的分裂域，因此，若域K是域F上一个可分多项式f(x)的分裂域，则其伽罗瓦群G(K/F)就称为f(x)的伽罗瓦群，从而有限次伽罗瓦扩域的伽罗瓦群必为某一多项式的伽罗瓦群。在历史上，是伽罗瓦(Galois，E.)首先对多项式引入伽罗瓦群的概念.

数学中，伽罗瓦群（Groupe de Galois）是与某个类型的域扩张相伴的群。域扩张源于多项式，通过伽罗瓦群研究域扩张以及多项式称为伽罗瓦理论，以发现者法国天才数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦命名。

定义

假设 E 是域 F 的一个扩张（写成 E/F，读做 E 在 F 上，英语：E over F）。考虑所有 E/F 的自同构集合（即同构 α 从 E 到自身使得 α(x) = x 对所有 x 属于 F）。这个自同构集合与函数复合一起组成一个群，有时记做 Aut(E/F)。

如果 E/F 是一个伽罗瓦扩张，则 Aut(E/F) 称为（扩张）E 在 F 上的伽罗瓦群，通常记做 Gal(E/F)。

群

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

伽罗瓦理论

设K是一个域，设Aut(K)是K的所有自同构做成的集合，在映射复合之下Aut(K)做成一个群，称为K的全体自同构群。设F是K的子域，令G (K/F) ={σ∈Aut(K)|σ(a)=a，a∈F}，它是Aut(K)的子群，称为K的F-自同构群。设G是Aut(K)的一个子群，令K= {a∈K|σ(a)=a，σ∈G}，它是K的一个子域，称为群G的固定域。G(K/F)也记作GK(F)。设K/F是一个代数扩张，下面3个条件等价： (1) K是F的可分正规扩域。(2)F=KK(F)。(3)存在GK(F)的子群G，使得F=KG。满足这些条件的F的扩域K称为F的一个伽罗瓦扩域，K/F称为伽罗瓦扩张，GK(F)=G(K/F)称为K/F的伽罗瓦解。K是F上的有限次伽罗瓦扩域当且仅当K是F上一切可分的不可约多项式乘积的分裂域。设E是伽罗瓦扩张K/F的中间域，则K/E也是伽罗瓦扩张。设K/F是有限次伽罗瓦扩张，G=G(K/F)是K/F的伽罗瓦群，对于G的子群H，令E=K是K的固定域，则H↔K给出了G的所有子群与K/F的所有中间域之间的一一对应。这个结论称为伽罗瓦理论的基本定理。设K/F是一个域扩张，如果存在K/F的一串中间域F=F0，F1，…，Fr=K：使得K，Fi=Fi-1(ai)，aii∈Fi-1，i=1，…，r，其中ni是一个不能被CharF整除的正整数。设F是一个域，f(x)∈f[x]，方程f(x)=0称为在F上可以用根号解，如果存在F的一个根号扩域，使得f(x)的全部根都在K中。设K是一个域，t1，…，tn是K上的无关未定元，令F=K(t1，…，tn)是K上t1，…，tn的有理分式域，多项式f(x)=x-t1x+t2x-…+(-1)tn∈F[x]称为K上n次一般方程，设K是一个特征为0的域，则K上n次一般方程在F=K(t1，…，tn)上可以用根号解当且仅当n≤4。利用伽罗瓦理论基本定理还可以证明x-4x+2=0等方程在有理数域上不能用根号解。

伽罗瓦扩张

伽罗瓦理论的一个基本的代数扩张。伽罗瓦扩张是指域的可分正规扩张。若K为域F的代数扩张，则此域扩张为伽罗瓦扩张的充分必要条件为K的F自同构群G(K/F)的固定域K恰为F；有限次伽罗瓦扩域等同于一个可分多项式的分裂域。

人物简介

伽罗瓦是法国数学家。生于巴黎郊区布拉伦(Bourg-la-Reine)，卒于巴黎。幼时受到良好的家庭教育.12岁入中学，在数学教师理查德(Richard 1795—1849)指导下研究代数方程可解条件问题，17岁(1828年)高中未毕业便写出了关于循环连分数及五次方程代数解法的论文。18岁(1829年)中学毕业，同年进入师范学校.他是法国资产阶级革命的积极参加者，曾因此被开除学籍并两次入狱。恢复自由后不久，因政治和爱情的纠葛，在一次决斗中不幸身亡，年仅21岁。

伽罗瓦短暂的一生，为数学增添了全新的思想，如群、域概念发展成为了许多新的数学分支。特别是还发现了每个代数方程必有反映其特性的置换群存在，从而解决了多年不能解决的用根式解代数方程的可能性的判断问题，创立了“伽罗瓦理论”，并为群论的建立、发展和应用奠定了基础。也使他成为了19世纪伟大的数学家之一。

1830年与1831年，伽罗瓦写出了两篇关于方程论的重要论文，提交给了法国科学院，但因受权威压制，未能发表。直到他死后14年，即1846年，法国数学家刘维尔(Liouville，J.)才发现他的遗作的巨大意义，将他的遗稿汇集出版。1870年，法国数学家若尔当(Jordan，M.E.C.)还根据伽罗瓦的思想写出了《置换与代数方程》一书。

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