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体积元

外微分形式

体积元(volume element)是一种外微分形式，微分流形上与定向相符的外微分形式。更一般地，一个体积元是流形上一个测度。

简介
数学中，体积元提供了函数在不同坐标系（比如球坐标和圆柱坐标）下对体积积分的一种工具。更一般地，一个体积元是流形上一个测度。
在一个定向 -维流形上，体积元典型地由体积形式生成，所谓体积元是一个处处非零的 -阶微分形式。一个流形具有体积形式当且仅当它是可定向的，而可定向流形有无穷多个体积形式（细节见下）。
有一个推广的伪体积形式概念，对无论可否定向的流形都存在。
许多类型的流形有典范的（伪）体积形式，因为它们有额外的结构保证可选取一个更好的体积形式。在复情形，一个带有全纯体积形式的凯勒流形是卡拉比-丘流形。
定义
流形 上一个体积形式是处处非0的最高阶（ -维流形上的 -形式）微分形式。用线丛的语言来说，称最高阶外积 为行列式线丛，-形式是它的截面。
对不可定向流形，一个体积“伪”形式，也称为“奇”或“扭曲”的体积形式，可以定义为定向丛的一个处处非0截面；这个定义同样适用于定向流形。在这种看法下，（非扭曲的）微分形式就是“偶” -形式。除非特别地讨论扭曲形式时，我们总是略去形容词“偶”。
第一次明确地引入扭曲微分形式是德拉姆。
定向
一个流形具有体积形式当且仅当它可定向，这也可以作为可定向的一个定义。
在 -结构的语言中，一个体积形式是一个 -结构。因为 是形变收缩（因为 ，这里正实数视为纯量矩阵），一个流形具有一个SL-结构当且仅当具有一个 -结构，即是一个定向。
在线丛的语言中，行列式丛 的平凡性等价于可定向性，而一个线丛是平凡的当且仅当它有一个处处非0的截面，这样又得到，体积形式的存在性等价于可定向性。
对于伪体积形式，一个伪体积形式是一个 -结构，因为 同伦等价（事实上是形变收缩），任何流形都有伪体积形式。类似地，定向丛总是平凡的，所以任何流形都有一个伪体积形式。
和测度的关系
任何流形有一个伪体积形式，因为定向丛（作为线丛）是平凡的。给定一个定向流形上的体积形式 ，密度 是忘掉定向结构的非定向流形的一个伪体积形式。
任何伪体积形式 （从而任何体积形式亦然）定义了一个波莱尔集合上一个测度：
注意区别，在于任何一个测度可以在（Borel）子集上积分，而一个体积形式只能在一个“定向”胞腔上积分。在单变量微积分中，写成 ，将 视为体积形式而不是测度， 表明“在 上沿着定向相反的反向积分”，有时记成 。
进一步，一般的测度不必连续或光滑，他们不必由体积形式定义；或更形式地说，关于一个体积形式的Radon-Nikodym导数不必绝对连续。
例子
1.李群
任何李群，可以由平移定义一个自然的体积形式。这就是说，如果 是 中一个元素，那么一个左不变形式可以定义为 ，这里 为左平移。作为一个推论，任何李群都是可定向的。这个体积形式在相差一个常数的意义下是惟一的，相应的测度称为哈尔测度。
2.辛流形
任何辛流形（或更确切地为殆辛流形）有一个自然的体积形式。如果 是一个带有辛形式 的 -维流形，那么由辛形式非退化可知 处处非零。作为一个推论，任何辛流形是可定向的（事实上，已经定向）。
3.黎曼体积元
任何黎曼流形（或伪黎曼流形）有一个自然的体积（或伪体积）形式。在局部坐标系下，能写成表达式：
这里流形为 -维， 是流形上度量张量行列式的绝对值， 为组成流形余切丛一组基的1形式。
这个体积形式有许多不同的记号，包括：
这里 是霍奇对偶，从而最后一个形式 强调体积形式是流形上常数映射的霍奇对偶。
尽管希腊字母ω经常用于表示体积形式，但是这个记法很难通用，符号ω在微分几何中经常有其它意思（比如辛形式），所以一个公式中的ω不一定就表示体积形式。
一个流形如果既是辛的又是黎曼的，如果流形是凯勒的那种方式定义的体积形式相等。
4.曲面的体积元
体积形式一个简单的例子可以考虑嵌入 -维欧几里得空间中的2-维曲面。考虑子集 ，以及映射函数
定义了嵌入到 中的一个曲面。映射的雅可比矩阵为
指标 从1跑到 ， 从1跑到2。 -维空间的欧几里得度量诱导了集合U上的一个度量，度量矩阵分量为：
度量的行列式由
给出，这里 是楔积。对一个正则曲面，这个行列式不为0；等价地，雅可比矩阵的秩为2。
现在考虑 的一个坐标变换，由微分同胚
给出。从而坐标 用 形式表示是 。坐标变换的雅可比矩阵为：
在新坐标系下，我们有：
从而度量变换为：
这里 是在v坐标系下的度量。行列式：
给出以上构造后，现在可以直接理解为什么体积在坐标变换下不变的。在2维，体积就是面积。子集 的面积由积分：
给出。从而，在任一坐标系下，体积都有相同的表达式，即这个表达式在坐标变换下是不变的。
注意到在以上表达式中2维并没有任何特殊性，以上结论可以平凡地推广到任意维数。
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