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傅里叶积分

数学术语

当一个非常复杂的函数变成多个初等正弦函数相加时，它的积分比之前对复杂函数的积分变得简单多了。法国数学家傅里叶发现了周期函数可以用一系列正弦函数组成的级数表示。先把函数作傅里叶变换，然后再利用莱布尼茨公式即可求出结果。

概念
傅里叶积分是一种积分在运算过程中的变换，它来源于函数的傅里叶积分表示。以傅里叶变换为工具，研究函数的许多性质，是傅里叶分析的主要内容。傅里叶变换在数学、物理以及工程技术中都有重要的应用。
定义
一.基本定义和定理
基本定义：若函数 f(x)满足条件
①在任一有限区间都连续或只有有限个第一类间断点，并且只有有限个极值；
②在(-∞，+∞)上绝对可积，即有限；则定义[f(x)→C(ω)]
为 f(x)的（复）傅里叶变换；记C(ω) = F[ f (x)] = f (ω)，称 C(ω)为（复）傅里叶变换像函数。
定理：在上面定义的基础上，可以证明
（在间断点，右边的积分收敛到f(x)在该点左右极限的平均值）．称该积分为 f(x)的傅里叶复积分；f(x)为 C(ω)的（傅里叶逆变换 C(ω)→f(x)）原函数。常记。
二. 实数形式的傅里叶积分
和定理对应的实函数形式为：
称 f(x)的（实数形式的）傅里叶积分。其中
称为 f(x)的实傅里叶变换。
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