元数学

数学术语

元数学是一种将数学作为人类意识和文化客体的科学思维或知识。更进一步来说，元数学是一种用来研究数学和数学哲学的数学。“数学的数学”是于19世纪初由通常的数学分离出来的，它最初研究的对象是在所谓的数学危机。将二者混为一谈会导致一些矛盾，典型例子有理查兹悖论。

简介

元数学是一门数理逻辑方面的学科，其主要研究对象是数学本身的矛盾性问题。元数学研究的是数理逻辑方面的问题。作为一门科学来说，数理逻辑从19世纪中叶就开始存在了。在这期间，数学基础研究的两个相继时代，由于集论与分析算术化而达到了一个顶峰。但是到了1900年前后出现了新的危机，这是由罗素与怀特黑、希尔伯特与布劳维等所支配的新时代。

1931年哥德尔的两个不完备性定理的发表，1933年塔斯基的关于形式语言中“真”这一概念的著作的发表，1934年厄勃朗一哥德尔的“一般递归函数”概念的提出，1936年与前者有关的邱吉论题的提出，开始了一个更新的时代。在这个时代中，数学工具被应用到评价先前的对话和过去所无法预见的新方向上去了，具体地说就是要研究过去人们所依赖的数学知识是否是无矛盾的。

数学的矛盾性主要是使用集合产生的。希尔伯特提出了一个“直接方法”：由矛盾性的意义得出，即在数学中不能由公理推出矛盾。比如一个命题A及它的否定命题就不能均是数学定理。这样，直接证明数学理论的无矛盾性，就只需证明关于数学理论本身的一些命题。于是，被证明无矛盾的那个数学理论，又变成另一个数学范畴研究的对象，而后一个数学范畴就称为“元数学”。

特征

许多关于数学基础与数学哲学的论说都涉及元数学的概念，它们往往不能被当作我们通常所说的“问题”来处理。元数学的基本假设是：数学的内容可以由一个形式系统获得，比如一个序理论或一个公理化集合论。

元数学与数理逻辑休戚相关，因而这两者的发展也大同小异。元数学的发端大概要追溯到弗雷格的工作：《概念文字》。大卫·希尔伯特首先引进了带有正则性的“元数学”（metamathematics with regularity）这一说法（见希尔伯特计划）。这也就是现在所说的证明论。另一个重要的现代分支是模型论。这一领域的其他重要人物有：伯特兰·罗素，斯科尔姆（Thoralf Skolem），普斯特（Emil Post），邱奇，克莱尼，蒯因，贝纳瑟拉夫（Paul Benacerraf），普特南，柴汀（Gregory Chaitin），以及最著名的塔斯基和哥德尔。特别地，哥德尔证明了：给定任意有限多条皮亚诺算术的公理，都存在一些正确的命题，无法用所给公理来证明，即所谓的哥德尔不完备定理。某种意义上来说，这一结果是迄今为止元数学与数学哲学的最高成就。

形式体系

元数学包括了形式体系的描述或定义以及关于形式体系的性质的研究。整个元数学涉及三个层次：

①非形式的理论，由它形式化以后便得到一个形式体系；

②形式体系或对象理论；

③元理论，描述出形式体系，并研究形式体系。

元理论

元数学在形式化系统中研究问题，只要是研究形式化理论的学科都可以在其中汲取到一定的营养。在元数学的范畴中，当需要处理一个特殊的形式体系时，可以把这个形式体系称为对象理论，而关于它的元数学就叫做元理论。元理论是直觉的并且是非形式的一种数学，元理论将用寻常的语言来表示。根据需要也可直接引入适当的符号（称为元符号）。在元理论中，断言必须被理解，推理必须被确信。元理论研究所采用的方法是“有穷性方法”，即必须能给出算法。

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