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克拉莫-克若尼关系式

数学上连系复面上半可析函数实数部和虚数部的公式

克喇末-克勒尼希关系式（英语：Kramers–Kronig relations）是数学上连系复面上半可析函数实数部和虚数部的公式。此关系式常用于物理系统的线性反应函数。物理上因果关系（系统反应必须在施力之后）意味着反应函数必须符合复面上半的可析性。反之，反应函数的可析性意味着相应物理系统的因果性。此关系式以拉尔夫·克勒尼希和汉斯·克喇末为名。

公式定义
给定一复数变数 的复值函数 ，其中 和 是实值函数。假设此函数 在复数平面上半部可析，且当 趋向无限大时，它在上半平面趋于零的速度比 快或与之相等，那么 满足以下关系：
和
其中 表示柯西主值。因此可析函数的实部和虚部并不独立：函数的一部分可以重建整个函数。
推导
推导克喇末-克勒尼希关系式是留数定理的基本应用。对任何复面上半可析函数和实数函数在复面上半可析。
选用实轴上的路径、跳过任何实轴上极点、再以复面上半圆完成。把积分分解成三部分。其中半圆部分长度和成正比，因此只要消失比快，对半圆部分积分趋向零。因此积分只剩实轴上直线部和跳过极点的小半圆：
以上第二项留数定理的结果。重组后得到克喇末-克勒尼希关系式：
分母里的虚数意味者这是连系实部和虚部的公式。把分解成实部和虚部可轻易得到更早的公式。
物理理解
可以将Kramers-Kronig关系应用于响应函数理论。物理上，响应函数概括系统对在时间的作用力在另一时间的反应：
因为系统不能在施力前有任何反应因此当，。 可以证明这因果关系意味着的傅立叶变换在复面上半可析。另外如果我们施加系统一个远高于它最高共振频率的高频作用力，此时作用力转换太快而系统不能即时做出反应，因此很大时，会趋近于0。从这些物理考量，可知物理反应函数通常符合克喇末-克勒尼希关系式的前提条件。
反应函数的虚部和作用力异相。它概括系统如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希关系，我们可以透过观察系统能量消耗而得到它对作用力的同相（不做功）反应，反之亦然。
上述函数的积分路径是从到，其中出现了负频率。幸运的是，多数系统中，正频响应决定了负频响应，这是因为是实数变量的傅里叶变换，根据对实数进行傅里叶变换的性质，，是频率的偶函数，而是的奇函数。
根据该性质，积分可以从正负无穷区间约化为的区间上。考虑实部的第一个关系，积分函数上下同乘可得：
由于为奇函数，第二项为零，剩下的部分为
类似的推导亦可用于虚部：
该 Kramers-Kronig 关系在物理响应函数上的很有用处。
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