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共线向量基本定理

数学定理

共线向量基本定理，数学术语。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。

定义与证明
如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。
证明：
（1）充分性：对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。
定理中的向量a是非零向量，若 a=0，当定理从前往后推出时 ，向量b必为零向量，0与0共线失去讨论意义；当定理从后往前推出时，则向量b为任意向量都可以，同时λ的值不确定，可取任意实数， 即零向量与任意向量共线 ，向量共线的概念已做明确规定 ，故定理中限制向量 a非零。
（2）必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b=λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。
（3）唯一性：如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。
证毕。
推论
推论1
两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。
证明：
（1）充分性，不妨设μ≠0，则由 λa+μb=0 得 -b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。
（2）必要性，已知向量a与b共线，若a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，实数λ、μ不全为零。若a=0，则取μ=0，取λ为任意一个不为零的实数，即有 λa+μb=0。
证毕。
推论2
两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。
证明：
（1）充分性，∵μ≠0，∴由 λa+μb=0 可得 b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。
（2）必要性，∵向量a与b共线，且a≠0，则由 共线向量基本定理 知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0； 取 μ=-1≠0，就有 λa+μb=0，实数λ、μ全不为零。
证毕。
推论3
如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0。
证明：（反证法）
不妨假设μ≠0，则由 推论1 知，向量a、b共线；这与已知向量a、b不共线矛盾，故假设是错的，所以λ=μ=0。
证毕。
推论4
如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数λ，使得
向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。
证明：
∵三点P、A、B不共线，∴向量AB≠0，
由 共线向量基本定理 得，
点C在直线AB上 <=> 向量AC 与 向量AB 共线 <=> 存在唯一实数λ，使 向量AC=λ·向量AB
∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线，
∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。
证毕。
推论5
如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一一对实数λ、μ，使得
向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）
证明：
在推论4 中，令 1-λ=μ ，则λ+μ=1，知：
三点P、A、B不共线 <=> 点C在直线AB上的充要条件是：存在实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）
下面证唯一性，若 向量PC=m向量PA+n向量PB，则 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB，
即，（m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB=0，
∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线，
由 推论3 知，m=λ，n=μ。
证毕。
推论6
如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得
λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。
证明：
（1）充分性，由推论5 知，若三点P、A、B不共线，则 点C在直线AB上 <=> 存在实数λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB（其中，λ+μ=1）。
取ν=-1，则有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，且实数λ、μ、ν不全为零。
（2）必要性，不妨设ν≠0，且有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，则 向量PC=（λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB，（-λ/ν）+（-μ/ν）=1。由推论5 即知，点C在直线AB上。
证毕。
推论7
点P是直线AB外任意一点，那么三不同点A、B、C共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ、ν，使得
λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。
证明：（反证法）
∵点P是直线AB外任意一点，∴向量PA≠0，向量PB≠0，向量PC≠0，且 向量PA、向量PB、向量PC两两不共线。
由推论6 知，实数λ、μ、ν不全为零，
（1）假设实数λ、μ、ν中有两个为零，不妨设λ≠0，μ=0，ν=0。则 λ向量PA=0，∴向量PA=0。这与向量PA≠0。
（2）假设实数λ、μ、ν中有一个为零，不妨设λ≠0，μ≠0，ν=0。则 λ向量PA+μ向量PB=0，∴向量PA=（μ/λ）·向量PB，∴向量PA 与 向量PB共线，这与向量PA 与 向量PB不共线矛盾。
证毕。
共线向量定理
定理1
⊿ABC中，点D在直线BC上的充要条件是
其中
都是其对应向量的数量。
证明：有推论5 即可证得。
定理2
⊿ABC中，点D在直线BC上的充要条件是
其中都是有向面积。通常约定，顶点按逆时针方向排列的三角形面积为正，顶点按顺时针方向排列的三角形面积为负。
证明：由定理1 即可得证。
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