接合函数

一类映射

接合函数(incidence function)亦称关联函数，是一类映射，即从局部有限偏序集P=(E，≤)的笛卡儿积集P×P，到数域F上且满足如下条件的映射f：当E的任意元素x，y没有序关系，即x≰y时，f(x，y)=0。

基本介绍

接合函数是一类映射，即从局部有限偏序集P=(E，≤)的笛卡儿积集P×P，到数域F上且满足如下条件的映射f：当E的任意元素x，y没有序关系，即x≰y时，f(x，y)=0。

从组合几何观点看，x，y没有序关系也就是没有接合关系。

例如，δ函数δ(x，y)仅当x=y时其值为1，其他情形均为0；ζ函数ζ(x，y)仅当x≤y时其值为1，而其他情形均为0。

接合代数

若AF(p)为如前所述所有接合函数组成的集合，并在其上定义接合函数的加法运算、数乘运算以及卷积运算：

(f+g)(x，y)=f(x，y)+g(x，y)；

(rf)(x，y)=rf(x，y)，r∈F；

(f*g)(x，y)=f(x，z)g(z，y)，

则称AF(P)为P的接合代数。而且它关于偏序集P是惟一的，不仅如此，当不同的偏序集P1，P2产生的接合代数AF(P1)和AF(P2)同构时，偏序集P1和P2亦同构。

相关介绍

偏序集(partially set,poset)是特定的集，它是一类主要的序关系集。具体地说，集合E连同其上的偏序R构成的关系集(E，R)，一般记为P=(E，≤)。所谓偏序(或序关系)是一类具有自反性、反对称性和传递性的二元关系。例如，数之间的不大于关系，自然数之间的整除关系，集合之间的包容关系等。把集合E的基数称为偏序集P的阶，阶为有限值的偏序集称为有限偏序集。而在P上，对于任意元素x，y，区间[x，y]均为有限偏序集时，称P为局部有限偏序集，这两类偏序集是组合理论中的主要研究对象。偏序集上所有链的长度的最小上界，或上确界，称为偏序集的长度，记为l(P)，偏序集中最大反链包含的元素数目，称为偏序集的宽度，记w(p)，对于以下图为哈塞图的偏序集P，有l(P)=3，w(P)=2，偏序集的子关系集仍为偏序集，而且必有全序集作为其子关系集。

在集合P上定义一个二元关系≤，对任意x，y，z∈P，若满足下列条件：

P1x≤x(反身性);

P2若x≤y且y≤x，则x=y(反对称性)；

P3若x≤y且y≤z，则x≤z(传递性)，

则称P为偏序集，记为(P;≤)，或简记为P，满足P1，P2，P3的二元关系称为偏序关系，简称偏序，亦称半序.集合P的二元关系适合P1，P3时，称为拟序或准序，记为(P;)，并称其为拟序集或准序集.若(P;≤)是偏序集，Q是P的一个非空子集，而且在Q上有一个由≤引出的自然偏序≤Q，使对a，b∈Q，a≤Qb当且仅当a≤b，则称(Q;≤Q)为P的子偏序集.设≤1，≤2是定义在同一集合P上的两个偏序，对任意a，b∈P，若a≤1b有a≤2b，则≤2称为≤1的扩张.当x≤y且x≠y时，则称x小于y，亦称x真含于y，并记为x

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