内导子

环论术语

设R是素环，d是R上的一个导子，对一个固定元素a∈R，映射Ia:R→R，Ia(x)=[x,a] 是一个导子，我们称其为R上的一个内导子。

简介

关于环上导子的研究始于波斯纳（Posner），他在1957年证明了非零中心化导子的素环一定为交换环。近些年，很多学者研究了环上导子的交换性，对环的研究具有深远影响。2002年，阿什拉夫（Ashraf）和拉赫曼（Rehaman）证明了对任意的，都有或的情况。

定义

设R是任意结合环，对于任意的，d是环R上的可加映射，若，则称d为环R上的导子。

设R是素环，d是R上的一个导子，对一个固定元素a∈R，映射是一个导子，我们称其为R上的一个内导子。

性质

半单李代数的导子为内导子。

引理

引理1

如果一个素环R包含一个非零的可交换的右理想，那么R也是可交换的。

引理2

设R是一个素环，I为R的一个非零右理想，如果d是R上的一个非零导子，那么d也是I上的一个非零导子。

定理

定理1

设R是一个素环，I为R的一个非零理想，为R的一个内导子，其中a为R中一个固定元素，如果对任意的x，y∈I，都有，那么R是可交换的。

证明：（1）对任意的x，y∈I，都有。如果，那么xoy=0，对任意的x，y∈I。用yz代替y得：。利用基本恒等式得：。所以y[x，z]=0，x，y，z∈I，从而。由于I≠0且R是一个素环，可知[x，z]=0，x，z∈I，由引理1可知R是可交换的。

定理2

设R是一个素环，I为R的一个非零理想，为R的一个内导子，其中a为R中一个固定元素，如果对任意的x，y∈I，都有，那么R是可交换的。

定理3

设R是一个素环，I 为R的一个非零理想，为R的一个广义内导子，为其伴随内导子，其中 a，b 是R中的固定元素，并有 = 0或 ≠ 0，如果对任意的 x， y ∈ I，都

那么R是可交换的。

证明：如果 = 0，那么对任意的 x，y∈ I，都有xοy = 0。

用 yz 代替 y 得xο(yz) = 0，利用基本恒等式得。所以。从而。由于I ≠ 0且R是一个素环，可知，可知R是可交换的。

导子

在抽象代数中，一个导子(derivation)是代数上的函数，是导数算子的某些特征。

明确地，给定一个环或域 k 上一个代数 A，一个 k-导子是一个 k-线性映射 D: A → A，满足莱布尼兹法则：。更一般地，从 A 映到 A-模 M 的一个 k-线性映射 D，满足莱布尼兹法则也称为一个导子。A 所有到自身的 k-导子集合记为 Derk(A)。从 A 到 A-模 M 的所有 k-导子集合记为 Derk(A,M)。

导子在不同的数学领域以许多不同的面貌出现。关于一个变量的偏导数是 Rn 上实值可微函数组成的代数上的一个 R-导子。关于一个向量场的李导数是可微流形上可微函数代数上的 R-导子;更一般地，它是流形上张量代数的导子。Pincherle 导数是一个抽象代数上的导子的例子。如果代数 A 非交换，则关于 A 中一个元素的交换子定义了 A 到自身的线性映射，这是 A 的一个 k-导子。一个代数 A 装备一个特定的导子 d 组成了一个微分代数，这自身便是一些研究领域的一个重要对象，比如微分伽罗瓦理论。

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