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减函数

数学专业名词

函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 ，当x1 f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数，并称区间D为递减区间。减函数的图像从左往右是下降的，即函数值随自变量的增大而减小。判断一个函数是否为减函数可以通过定义法、图像法、直观法或利用该区间内导数值的正负来判断。

定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1 f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数。即随着自变量x增大，函数值y减小的函数为减函数。
单调性
单调性的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就或函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D就叫做函数y=f(x)的单调区间。
单调性的证明
用定义法证明单调性的步骤：
（1）任取x1,x2∈D，且满足x1
（2）作差f(x1)-f(x2)；
（3）变形（通常是因式分解和配方）；
（4）定号（即判断f(x1)-f(x2)的正负）；
（5）下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。
在证明函数为减函数时，只需要证明：当x10。在减函数的图像中，函数图像从左往右是下降的，即函数值随自变量的增大而减小。
单调性的判断方法
（1）定义法：即“取值（定义域内）→作差→变形→定号→判断”；
（2）图像法：先作出函数图像，利用图像直观判断函数的单调性；
（3）直接法：就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间。
（4）求导法：假定函数f在区间[a,b]上连续且在(a,b)上可微，若每个点x∈(a,b)有f'(x)>0，则f在[a,b]上是递增的；若每个点x∈(a,b)有f'(x)<0，则f在[a,b]上是递减的。
注意事项
（1）函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，是函数的局部性质；
（2）函数f(x)在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质；
（3）函数的单调性定义中x1,x2有三个特征：任意性、有大小、属于同一个单调区间；
（4）求函数的单调区间，必须先求定义域。
（5）区间端点的写法：对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点。
性质
（1）增函数+增函数=增函数；
（2）减函数+减函数=减函数；
（3）增函数-减函数=增函数；
（4）减函数-增函数=减函数。
实例
判断函数y=-x^3的单调性。
解：易得该函数是整函数，故定义域为R。
（1）利用定义法来判断该函数的单调性。
任取x1,x2∈R，且满足x1
最终两个因式中第一个因式小于零，第二个因式恒大于零，且两因式前有一个负号，故有f(x1)-f(x2)>0，即有：当x1-x2<0时，有f(x1)-f(x2)>0，故该函数在R上为减函数。
（2）利用图像法来判断。
对于常见函数y=x^3的图像，如右图所示，易得该函数图像从左往右看是上升的趋势，故该函数在定义域R上为增函数。而函数y=-x^3与y=x^3相差一个负号，在图象表示为关于x轴对称，故易得函数y=-x^3的图像从左往右看是下降的趋势，因此函数y=-x^3在定义域R上为一个减函数。
（3）利用求导法来判断。
对函数进行求导，得恒成立，故有该函数在定义域R上为减函数。
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