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凝聚层

代数几何学术语

在数学中，尤其是代数几何与复流形理论里，凝聚层是一类特别容易处理的层。凝聚层的定义指涉到一个环层（例如一个概形的结构层、复流形上的全纯函数层或D-模），此环层蕴藏了所论空间的几何性质。

定义
设为概形，模层是凝聚层，若X能用仿射开子集Ui=Spec Ai覆盖，使得对每个i，存在有限生成Ai模Mi满足。
例子
对于概形X，结构层是凝聚层。
性质
设是诺特概形，则模是凝聚层，当且仅当对X的每个仿射开子集U=Spec A，存在有限生成A模M使得。
一个凝聚层是赋环空间上的一个-模，满足下述性质：
在上是有限型的，即：对任一点，存在其邻域使得可由有限多个截面生成（换言之，存在正合序列）。
对任意开集，任意及任意-模的态射，其核是有限型的。
环层是凝聚层当且仅当它自身作为一个-模是个凝聚层。
凝聚层必定是有限展示的：即对任一点都存在其开邻域U、正整数m,n以及一个正合序列：
反之则不然，除非要求是凝聚环层。
拟凝聚层的定义更弱：仅要求对任一点都存在开邻域U，索引集I,J（可能是无限集）及一个正合序列：
对一个仿射簇X=Spec(R)，给出从拟凝聚层到R-模的范畴等价；若R是诺特环，则凝聚层恰对应至有限生成的R-模。
凝聚层的概念较局部自由层（换言之，向量丛的截面层）广，但仍然很容易操作，这在考虑核与上核时特别有利，因为局部自由层在这些操作下并不封闭。形式地说：给定一个短正合序列，只要其中任两个层是凝聚层，则令一个也必然是凝聚层；在-模的范畴里，凝聚层是满足上述条件并包含的最小满范畴。因此就同调代数的观点看，凝聚层是最自然的范畴之一。
概念
相关的概念还有拟凝聚层与有限展示层。代数几何与复解析几何里的许多性质与定理都以凝聚层及其上同调表述。
凝聚层可被视作向量丛截面层的推广。它们构成的范畴在取核、上核、有限直和等操作下封闭。此外，若底空间满足合宜的紧致条件，则凝聚性在底空间的映射下保持不变，且具有有限维的层上同调群。交换代数里的一些定理也能应用于凝聚层，如中山正引理。
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