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分布函数

一种描述随机变量的概率分布函数

分布函数（英文Cumulative Distribution Function, 简称CDF），是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

定义
设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 称为X的分布函数。有时也记为 。
对于任意实数 ,
因此，若已知X的分布函数，就可以知道X落在任一区间上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。
如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间 上的概率。
分布函数的性质
F(x)为随机变量X的分布函数，其充分必要条件为：
1.非降性
(1)F(x)是一个不减函数
对于任意实数
2.有界性
（2）
从几何上说明，将区间端点x沿数轴无限向左移动（即 ），则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于0，即有 ;又若将点x无限右移（即 ），则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于必然事件，从而趋于概率1，即有
3右连续性
(3) ;
证明：因为 F（x）是单调有界非减函数，所以其任一点x0的右极限F（x0+0）必存在。
为证明右连续，由海涅定理，只要对单调下降的数列 当 时,
证明 成立即可。 因为 ：
所以得，.
离散性随机变量的分布函数
设离散性随机变量X的分布列为
由概率的可列可加性得 ，
即
其中和式是对满足 的一切k求和．离散型随机变量的分布函数是分段函数， 的间断点就是离散型随机变量的各可能取值点，并且在其间断点处右连续．离散型随机变量 的分布函数 的图形是阶梯形曲线． 在 的一切有(正)概率的点 ，皆有一个跳跃，其跳跃度正好为 取值 的概率 ，而在分布函数 的任何一个连续点x上， 取值x的概率皆为零。
离散型随机变量的分布律和它的分布函数是相互唯一决定的。它们皆可以用来描述离散型随机变量的统计规律性，但分布律比分布函数更直观简明，处理更方便。因此，一般是用分布律(概率函数)而不是分布函数来描述离散型随机变量。
连续性随机变量的分布函数
1.定义
设X为连续型随机变量，其密度函数为 ，则有
对上式两端求关于x的导数得
这正是连续型随机变量X的分布函数与密度函数之间的关系。
2.几种常见的连续性随机变量的分布函数
(1)设 ,则随机变量X的分布函数为
(2)设 ，则随机变量X的分布函数为
(3)设 ，则随机变量的分布函数为
对于 ，其分布函数为
联合分布函数
定义
给定一个随机变量 ，称定义域为整个平面的二元实值函数
为随机变量(X，y)的分布函数。或称为X与y的联合分布函数．
按照分布函数的定义：，其中，区域 如图1所示
性质
设 是随机变量 的分布函数，
（1） ；
（2）固定一个自变量的值时，作为一元函数关于另一个自变量是单调不减的；
（3）对任意固定一个y， ；对任意同固定一个x， ；
（4） ， ；
（5）固定一个自变量的值时， 作为一元函数关于另一个自变量至少右连续；
（6）对任意的 有：
。
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