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分式线性变换

数学术语

给定满足条件ad-bc≠0的四个复常数a，b，c，d，把由函数w=f(z)=(az+b)/(cz+d)定义的变换称为分式线性变换，定义中的条件ad-bc≠0 是为了保证变换的保角性。分式线性变换是最简单的共形映射，同时也是共形映射一般理论的基础，并且具有许多几何直观十分明显的重要性质。在建立边界为圆弧或直线的区域之间的共形映射时，分式线性变换是一个非常有利的工具。

基本介绍
由分式线性函数
所给出的映射叫做分式线性变换，它有几个特殊形式：
（1）平移变换这是整个平面的一个平移，每一个点都移动一个向量b。
（2）旋转变换（是实数），这是以原点为中心的一个旋转，旋转角为。
（3）相似变换这是一个以原点为中心，伸张系数为r的相似变换。
（4）倒数变换它又可以分解为: 及前者是一个关于单位圆周的反演变换，后者是一个关于实轴的反射变换。
对任意分式线性变换，可分为两种情况;
1.若c=0，它是一个整线性变换可由（1）一（3）三种简单变换叠合而成。
2.若把它改写成，可由（1）—（4）四种简单变换叠合而成。
分式线性变换的性质
定理1
任一个分式线性函数(1)，给出一个从闭z平面到闭w平面的双方单值的保角变换(这里我们定义两条曲线交在无穷远处的角，等于它们在倒数变换下的象曲线在原点的交角)。
定理2
(保圆性)分式线性变换把圆周变成圆周。
这里及下面几个定理中，所说到的圆周，都包括直线在内，也就是说，把直线看成是通过无穷远点的圆周。这样，一个圆周经过分式线性变换后，究竟是变成直线还是普通圆周，只要看它上面有没有无穷远点就可以确定。
定理3
(保对称点不变性)分式线性变换把对某一圆周为对称的点，变为对这个圆周的象对称的点。
定理4
任给z平面上三个不同的点和w平面上的三个点则存在唯一个分式线性变换，把分别变为而且这个分式线性变换可表为
这里。
如果或中的某一个是只需在(2)式中把含有这个数的因子改为1即可，例如，当时，(2)式成为
即
由保圆性可知，分式线性变换(1)，把由三点所确定的圆周C，变成由三点所确定的圆周C'，圆周C和C' 分别将z平免和w平面分成两个区域及和及，而且变换(1)把由经走向时，位在左边的区域，变成在w平面上，由经走向时，位在左边的区域。
利用分式线性变换解题时，下述事实是经常有用的: 如果一个分式线性变换满足条件则这个变换可以表为
(k为任意复常数).
特别地，若则。
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