分析学

数学的一个分支学科

数学的一个分支学科，以微积分方法为基本工具，以函数（映射、关系等更丰富的内涵）为主要研究对象，以极限为基本思想的众多数学经典分支及其现代拓展的统称，简称分析。

定义

以微分学、积分学、级数论、实数理论为其基本内容。

极限的概念不仅是微积分的核心，也是许多其他学科的重要思想。微积分是近代数学的基础，已产生许多新的数学分支，如微分方程、函数论、变分法、泛函分析等，统称为广义的分析学。

历史

古代起源

中世纪的积累

近代创立与发展

现代拓展

分析学的历史是一个不断发展和完善的过程，它与科学技术的发展相互促进，为人类认识世界和解决实际问题提供了强大的数学工具。

学科分支

分析学的诸多经典分支，或分析学各学科的经典部分中，数学分析、单复变函数论和实变函数论具有基础性质，它们全面研究所论函数的基本性态。除此以外，它的大多数分支主要从某个侧面去研究函数。例如，调和分析主要研究函数用傅里叶级数（或傅里叶变换）表示的问题，并利用这种表示去研究函数的性态。事实证明，这是研究函数重要而有效的途径，它的思想和方法在许多数学分支中用到。函数逼近论研究用某些性质良好的函数逼近一般函数的可能性及误差（逼近阶）等性质，以及反过来用这些性质去刻画函数。凸分析主要研究一类重要的非线性函数——凸函数。经典的变分法研究泛函的极值问题，这里的泛函一般限于含有变元函数的积分，因此也可以说它还是研究函数的。如今这些以函数为主要对象的经典学科，仍然是分析学的重要组成部分。

分析学的各经典学科多形成于17至19世纪之间，但除去数学分析、单复变函数论和实变函数论的基础内容已基本定型之外，其他的都在不断拓展它们的研究领域。象调和分析是从一元函数的傅里叶级数理论发展起来的，原来也称为傅里叶分析，但现今它的主要内容却是多元（函数的）调和分析和群上的调和分析（抽象调和分析），从研究的问题到方法上都有很大变化。在一些问题中，傅里叶变换逐渐被别的由它演变来的更有力的工具替代，因而很难继续用后一名称来概括它的全部内容。函数逼近论在初期主要讨论用代数的或三角的多项式逼近连续函数的有关问题，而现今所考虑的作为逼近工具的特殊函数和被逼近函数的类型都丰富多了。从这些学科的发展中可以看到，它们的研究对象正随之发生变化。与其说它们研究的仍然是函数，不如说主要是某些函数空间（函数类）和算子（变换）更为恰当，有关研究已推广到了群、流形或其他抽象的基域上。位势论的发展有类似的情况。经典的位势论研究牛顿位势（一类偏微分方程边值问题的积分形式的解），而现代位势论中所讨论的一般位势，实质上与牛顿位势相似，无非是关于某种测度对适当的核的特殊积分算子。群上的位势论也正在发展。对诸如此类的空间及算子抽象、系统的研究属于泛函分析。它是20世纪初发展起来的学科，是经典分析在近代的拓展。

另一个新的分析学科是流形上的分析，一般认为它在20世纪中期才形成独立分支。它研究定义在流形上的函数，而流形上一般没有统一坐标，只在每点存在与欧氏空间中的开集同胚的邻域，因此，流形上的局部分析与经典的欧氏空间的分析相仿，整体分析则复杂得多，流形上的分析指的就是后者（或称大范围分析）。它可以在流形这个全新背景之下，研究与各个经典分析学科相应的问题，是经典分析的现代拓展。例如，大范围变分法充实了大范围分析的内容，它既是变分法的现代发展，又可以看做流形上的分析的一部分。由于流形上的函数的性态与流形本身的几何、拓扑性质密切相关，从而可以认为，流形上的分析是分析学与几何、拓扑、代数互相综合的产物。这也反映了现代数学发展的特点。

关联学科

各学科密切联系、相互渗透与综合是现代数学发展的重要特点。现代分析学的发展，除了依靠本身的基础之外，特别吸收和利用了集合论、代数以及拓扑的思想和方法。已经提到的泛函分析和流形上的分析的形成和发展就是如此。再如，抽象调和分析和大范围变分法等，它们的基本问题还属于经典分析的推广，可是方法上完全离不开代数和拓扑，并都已形成独立的分支。离散化的方法在分析中用得越来越多，一些抽象代数的概念和理论被用到过去与它无缘的分析问题中。至于分析学内部各学科的结合就更多了，特别是泛函分析与其他经典学科的结合，现时已很平常。广义函数论已普遍成为许多经典分析领域的研究工具。前面提到过调和分析等学科对某些函数空间及算子的研究，这方面问题的提法和研究方法都有很多借鉴于泛函分析，并依赖于算子论的成果，又有各自的特点，代表了各自的发展方向，从而对泛函分析也是补充和发展。

其次，实分析与复分析的结合，也很引人注目。哈代空间理论的发展，可以作为这方面的典型例子。在20世纪初，它完全是复变函数论的一部分，20世纪60年代以后，在此基础上发展了多元哈代空间的实变理论，这又促进了多复变函数论在这方面的研究。分析学还与其他许多数学学科在内容上有复杂的交叉，思想和方法上联系密切。其中一些是长期存在而又有所发展的，如调和分析、变分法、位势论与微分方程的关系，而新近的则如调和分析、位势论与概率论的联系都是很突出的例子，这对双方学科的发展都很有影响。这类相互间的联系、渗透和综合已经十分普遍和深入，这就使得分析学的研究者，或者只想学习和了解现代分析的人，都应有多方面的数学知识基础。

分析学属基础数学范畴。作为纯粹数学学科，分析学的发展虽不以在科学技术中的应用为直接目的，然而随着时代的发展，很多抽象的数学概念和理论都在物理以及现代科技中找到实际背景或应用。微积分的创立，本来就有物理方面的源泉，所以分析学与物理的紧密联系从牛顿时代就开始了。以后在不同时代建立的一些分析学科（如变分法、位势论等）发展了这种关系。现代分析中对于某些算子的研究以及流形上的分析理论等在物理中的应用就更深入了。同时，电子计算机的发展不仅扩大了数学的应用范围，另一方面，而且也为数学理论研究提供了有力工具。在分析学方面，函数逼近论的某些方向（如样条函数逼近等）曾显得十分活跃，就因为它在与计算机相联系的计算数学中有广泛的应用。又由于计算机使许多最优化问题有可能实际求解，进而推动了变分法和凸分析的某些方向的发展。傅里叶分析在图象和信号处理的应用中，一直是重要的工具，现时发展起来的小波分析借助于计算机，在许多科学分支（如天体物理和地球物理等）中得到更广泛的应用。其实，计算机对数学的影响，决不限于某些应用及与它直接相关的理论方面。计算机的发展已直接影响到数学教学，并将进一步影响到整个数学的发展。现时由于机器证明有新的突破，人们日益注目于数学推理的构造性以及数学的机械化，这对于分析学这样的纯粹数学学科，无例外地将有越来越大的影响。

总之，分析学自微积分创立以来，历经三百余年的发展，形成一个庞大的分支体系。它影响和改变了整个数学的面貌。在现代科学技术的推动下，分析学仍在蓬勃地向前发展。

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