分析方法

2010年世界图书出版公司出版的图书

《分析方法》是2010年世界图书出版公司出版的图书，作者是斯特里沙兹(RobertS.Strichartz)。

内容简介

《分析方法（修订版）（英文版）》在介绍实分析的时候结合详尽、广泛的阐释，使得读者完全理解分析基础和方法。目次：基础；实数体系结构；实线拓扑；连续函数；微分学；积分学；序列和函数级数；超函数；欧拉空间和矩阵空间；欧拉空间上的微分计算；常微分方程；傅里叶级数；隐函数、曲线和曲面；勒贝格积分；多重积分。读者对象：数学专业的研究生以及相关的科研人员。

数学主要讲述思想的方法，深入理解数学比掌握一大堆的定理、定义、问题和技术显得更为重要。理论和定义共同作用。

分析方法，是指实验室对样品进行分析检验的依据。其中以科学、技术、实践经验和综合成果为基础，经有关方面协商一致，由主管机构批准，以特定形式发布，作为共同遵守的准则和依据的分析方法称为标准方法，或称方法标准。标准方法在技术上并不一定是最先进的，准确度也可能不是最高的，而是在一般条件下简便易行，具有一定可靠性，经济实用的成熟方法。标准方法的内容包括方法的类别、适用范围、原理、试剂或材料、仪器或设备、分析或操作、结果的计算、允许偏差等。标准方法常作为仲裁方法，亦称权威方法。标准方法按照适用范围可以分为不同的级别：国际标准、区域标准、国家标准、行业标准、地方标准和企业标准等。土壤分析中常用到的标准方法多为国际标准、国家标准和行业标准。

作品目录

Preface

1 Preliminaries

1.1 The Logic of Quantifiers

1.1.1 Rules of Quantifiers

1.1.2 Examples

1.1.3 Exercises

1.2 Infinite Sets

1.2.1 Countable Sets

1.2.2 Uncountable Sets

1.2.3 Exercises

1.3 Proofs

1.3.1 How to Discover Proofs

1.3.2 How to Understand Proofs

1.4 The Rational Number System

1.5 The Axiom of Choice

2 Construction of the Real Number System

2.1 Cauchy Sequences

2.1.1 Motivation

2.1.2 The Definition

2.1.3 Exercises

2.2 The Reals as an Ordered Field

2.2.1 Defining Arithmetic

2.2.2 The Field Axioms

2.2.3 Order

2.2.4 Exercises

2.3 Limits and Completeness

2.3.1 Proof of Completeness

2.3.2 Square Roots

2.3.3 Exercises

2.4 Other Versions and Visions

2.4.1 Infinite Decimal Expansion

2.4.2 Dedekind Cuts

2.4.3 Non-Standard Analysis

2.4.4 Constructive Analysis

2.4.5 Exercises

2.5 Summary

3 Topology of the Real Line

3.1 The Theory of Limits

3.1.1 Limits, Sups, and Infs

3.1.2 Limit Points

3.1.3 Exercises

3.2 Open Sets and Closed Sets

3.2.1 Open Sets

3.2.2 Closed Sets

3.2.3 Exercises

3.3 Compact Sets

3.3.1 Exercises

3.4 Summary

4 Continuous Functions

4.1 Concepts of Continuity

4.1.1 Definitions

4.1.2 Limits of Functions and Limits of Sequences

4.1.3 Inverse Images of Open Sets

4.1.4 Related Definitions

4.1.5 Exercises

4.2 Properties of Continuous Functions

4.2.1 Basic Properties

4.2.2 Continuous Functions on Compact Domains

4.2.3 Monotone Functions

4.2.4 Exercises

4.3 Summary

5 Differential Calculus

5.1 Concepts of the Derivative

5.1.1 Equivalent Definitions

5.1.2 Continuity and Continuous Differentiability

5.1.3 Exercises

5.2 Properties of the Derivative

5.2.1 Local Properties

5.2.2 Intermediate Value and Mean Value Theorems

5.2.3 Global Properties

5.2.4 Exercises

5.3 The Calculus of Derivatives

5.3.1 Product and Quotient Rules

5.3.2 The Chain Rule

5.3.3 Inverse Function Theorem

5.3,4 Exercises

5.4 Higher Derivatives and Taylor's Theorem

5.4.1 Interpretations of the Second Derivative

5.4.2 Taylor's Theorem

5.4.3 L'HSpital's Rule

5.4.4 Lagrange Remainder Formula

5.4.5 Orders of Zeros

5.4.6 Exercises

5.5 Summary

6 Integral Calculus

6.1 Integrals of Continuous Functions

6.1.1 Existence of the Integral

6.1.2 Fundamental Theorems of Calculus

6.1.3 Useful Integration Formulas

6.1.4 Numerical Integration

6.1.5 Exercises

6.2 The Riemann Integral

6.2.1 Definition of the Integral

6.2.2 Elementary Properties of the Integral

6.2.3 Functions with a Countable Number of Discon-tinuities

6.2.4 Exercises

6.3 Improper Integrals

6.3.1 Definitions and Examples

6.3.2 Exercises

6.4 Summary

7 Sequences and Series of Functions

7.1 Complex Numbers

7.1.1 Basic Properties of C

7.1.2 Complex-Valued Functions

7.1.3 Exercises

7.2 Numerical Series and Sequences

7.2.1 Convergence and Absolute Convergence

7.2.2 Rearrangements

7.2.3 Summation by Parts

7.2.4 Exercises

7.3 Uniform Convergence

7.3.1 Uniform Limits and Continuity

7.3.2 Integration and Differentiation of Limits

7.3.3 Unrestricted Convergence

7.3.4 Exercises

7.4 Power Series

7.4.1 The Radius of Convergence

7.4.2 Analytic Continuation

7.4.3 Analytic Functions on Complex Domains

7.4.4 Closure Properties of Analytic Functions

7.4.5 Exercises

7.5 Approximation by Polynomials

7.5.1 Lagrange Interpolation

7.5.2 Convolutions and Approximate Identities

7.5.3 The Weierstrass Approximation Theorem

7.5.4 Approximating Derivatives

7.5.5 Exercises

7.6 Eouicontinuity

7.6.1 The Definition of Equicontinuity

7.6.2 The Arzela-Ascoli Theorem

7.6.3 Exercises

7.7 Summary

8 Transcendental Functions

8.1 The Exponential and Logarithm

8.2 Trigonometric Functions

8.3 Summary

9 Euclidean Space and Metric Spaces

9.1 Structures on Euclidean Space

9.2 Topology of Metric Spaces

9.3 Continuous Functions on Metric Spaces

9.4 Summary

10 Differential Calculus in Euclidean Space

10.1 The Differential

10.2 Higher Derivatives

10.3 Summary

11 Ordinary Differential Equations

11.1 Existence and Uniqueness

11.2 Other Methods of Solution

11.3 Vector Fields and Flows

11.4 Summary

12 Fourier Series

12.1 Origins of Fourier Series

12.2 Convergence of Fourier Series

12.3 Summary

13 Implicit Functions, Curves, and Surfaces

13.1 The Implicit Function Theorem

13.2 Curves and Surfaces

13.3 Maxima and Minima on Surfaces

13.4 Arc Length

13.5 Summary

14 The Lebesgue Integral

14.1 The Concept of Measure

14.2 Proof of Existence of Measures

14.3 The Integral

14.4 The Lebesgue Spaces L1 and L2

14.5 Summary

15 Multiple Integrals

15.1 Interchange of Integrals

15.2 Change of Variable in Multiple Integrals

15.3 Summary

Index

逻辑意义上的分析方法：

分析与综合是哲学、心理学中探讨的较为深透的方法。在这里，主要从逻辑学的角度加以认识。

1.什么是分析

所谓分析，就是把对象的整体分解为各个部分加以考察的方法[1]。客观事物整体与部分的关系是分析方法的客观基础。整体是由它的各个组成部分构成的，客观事物在一定条件下分解为它的各个组成部分，事物的各种属性、方面或关系从不同方面表现了事物的整体性。人的大脑所具有的分析功能是分析的主观条件。客观事物的多方面属性的信息通过不同的感官渠道接收；人的思维能够把这些信息分成更细小的单元。客观事物的可分性和人脑的分析功能使分析方法成为人们劳动实践的方法和思维方法。人类最初在取食野果、解剖野兽、分食兽肉等劳动过程中，就学会了分析。恩格斯指出：“一个果核的剖开已是分析的开端。”[2]人们在劳动中对客观对象的分析现象，以携带信息的形象反映到思维中，导致了思维对形象的分析。思维中的分析是由想象完成的。在想象中，把一个事物的整体分为若干部分、把一个过程分为若干阶段、把一个系统分成若干个子系统或要素等等都属于分析。

分析方法是思维常用的方法，但是作为思维科学的逻辑学长期以来没有将这种思维方法纳入自己的研究范围。亚里士多德的传统逻辑主要关注“s是p”这样的直言判断，较少顾及其他命题；现代逻辑着眼于各种逻辑形式的构造，但却没有构造出分析方法的逻辑形式。因此，逻辑学还不能解释由分析所构成的思维现象。由分析所构成的命题在日常思维和语言中都是大量存在的。例如，“一米是三尺”就是一个由分析所构成的命题。它应当解释为：一米可以分成三个一尺或一米由三个一尺构成。数学中，与之类似的如“5=3+2”、“6=3×2”等也都是由分析所构成的命题。从中不难看出，数学中，加、减、乘、除、乘方、开方的运算，都是分析方法和与之相对应的综合方法的运算。

人类的思维实践创造了众多的分析方法，这些分析方法可以从不同的角度进行分类。逻辑学上区分了分解与划分。

（1）分解

分解是对具体事物的分析。将事物的“一个整体分成它的各个组成部分”[3]就是分解。分解是生活实践中用得最多的分析。其中又有静态分析和动态分析的区分。将一个处于相对静止状态中的对象整体分解为部分，称为静态分析，也称横向分析。例如，把完整的动物机体分解为它的器官、组织、细胞等便是静态分析。事物都是运动变化的。一个事物运动变化的过程也可以看作一个整体。将一个事物运动变化的过程分为时间上的各个阶段，称为动态分析，也称纵向分析。列宁说过：“如果不把不间断的东西割断，不使活生生的东西简单化、粗造化，不加以割碎，不使之僵化，那么我们就不能想象、表达、测量、描述运动。”例如，把恒星演化的全过程分解为引力收缩阶段、主序星阶段、红巨星阶段和高密恒星阶段，就属于动态分析。此外，还有定性分析与定量分析的区分。定性分析是对事物的质的分析，确定事物具有或不具有某种属性，指明事物是什么或不是什么。例如，苹果的形状是圆的、颜色是红的、味道是酸的，便属于这种类型。这种对于事物属性的分析与抽象存在密切的关系。事物的某一属性一旦被分离出来，抽象就开始了。定量分析是对事物的量的分析，包括对事物组成成分的数量、事物发展的数量分析。例如，通过对水的定量分析，可以得知水是由两个氢原子与一个氧原子构成，在摄氏0度到100度之间保持液体状态。无论是静态分析、动态分析，还是定性分析、定量分析，都能作深层次的分析。将事物构成的复杂系统分解为各个因素、方面、属性或子系统，称为系统分析。如进行一项复杂的工程建设，事先需要分析它的各个组成部分，还要分析各个部分相互联系、相互作用的特点，它的功能特点，它在各种外界条件作用下所表现出来的特点等等，如此才能为工程设计提供各方面的依据。

（2）划分

划分是逻辑学上对概念的分析。传统逻辑一般认为，划分是明确概念外延的逻辑方法，只涉及概念的外延。这种看法是有片面性的。斯多葛学派早就认识到，可以根据一定的质进行划分，例如将东西划分为好的、不好的。这种划分显然是内涵上的划分。事实上，划分任何概念都要以一定的属性作根据，这就意味着首先对概念的内涵作出分析，然后协同分析概念的相应外延。例如“人”这一概念，其内涵以性别为根据，分析为“男性”与“女性”，相应的外延分析为“男人”与“女人”，从而实现了对“人”这一概念的划分。所以，划分也是一种系统分析，只不过是对概念结构系统中的内涵与外延所作的协同分析。“划分必须是相称的”的规则，正是“整体等于部分之和”这一分析原理的运用。

除此之外，对命题也可以进行分析。例如，全称命题由单称命题构成，因而可以分析出一个个单称命题。演绎推理由一般推出个别，由全称命题推导单称命题来，实际上是对命题的一种分析运用。关于这一论题将在“演绎方法”一文中阐述。

这些不同名目的分析都是对事物整体的不同角度、不同方式、不同程度的分析。

2.分析所构成的逻辑关系

事物的整体都是有机的构成，事物内部中各个部分之间的联系是错综复杂的。思维中的分析是对事物反映到人脑中的信息所作的分析，因此能够不为事物构成的有机性和复杂性所困。在那里，任何难以分解的复杂事物都可以轻而易举地加以分析。例如，一个人的机体可以分析为五官、四肢，分析为骨骼系统、肌肉系统、神经系统、血液系统等等；“一尺之棰，日取其半，万世无竭”，可以分析到分子、原子或更细小的粒子。思维的无形之刀在分析这些事物时，不会掉下一滴血液，不会散落一点渣沫，不会损失任何信息。被分析的部分也很容易综合还原，且不留下任何痕迹。逻辑学在考察思维的分析时，也不再考虑事物构成的有机性与复杂性，它只考虑分析所构成的纯粹的逻辑关系，就像物理学研究运动规律时不考虑摩擦一样。分析所得到的纯粹逻辑关系是整体与部分的关系。被分析对象的整体称之为分析的母项，分析所得到的部分称之为分析的子项。在《想象的逻辑作用》[4]一文中曾经提出，一个事物的整体无论做何种方式、何种角度、何种程度的分析，它所造成的整体与部分的逻辑关系都是一致的，即：整体等于部分之和，或者母项等于子项之和。一个人的身体等于他的各部分肢体之和，一个水分子等于两个氢原子与一个氧原子之和，一个集合等于它的元素之和，一个概念的外延等于它的各个子概念外延之和。用逻辑形式表示，即:

s=a+b+c+n

其中a、b、c是对象整体s中分析出来的确定部分，n是s中除a、b、c之外的其余部分。公式所体现的关系，是分析方法所构成的基本关系，在逻辑中属于比较关系中的等于关系，其命题属于相等关系的命题，并服从相等关系的逻辑运算。任何名目的分析都服从整体等于部分之和的规律。

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