切线模量

屈服极限和强度极限之间的斜率

切线模量是指屈服极限和强度极限之间的斜率。在静态应力-应变曲线上每点的斜率，称为正切模量，一般来说某点的切线模量由该点附近应力变化量与应变变化量之比进行计算。塑性材料不同于金属材性，它具有黏弹性，应力-应变曲线是非线性的，因而每点的切线模量也就不同。

概念

切线模量就是屈服极限和强度极限之间的斜率，用于双线性弹塑性模型来考虑材料的性能。工程上希望知道其相关模量，从而提出切线模量，是材料非弹性极限范围内的宏观的模量的一种表述。根据定义可知，该模量为材料发生屈服以后的硬化模量，可以通过拉伸实验来确定的。它与弹性模量的比值称为塑形系数，在各种结构计算比如局部稳定计算中会用到。

例如Q235钢材，弹性模量为2.03×E05MPa，泊松比为0.3，钢材密度是7850kg/m3，切线模量为6100MPa，阻尼比取0.02。

黏土非线性模型的改进切线模量

岩土工程数值计算结果是否可靠和符合实际，与计算所选用的土体本构模型密切相关，而土体应力应变行为的描述及切线模量的表征又是土体本构模型的核心问题。基于双曲线应力应变曲线描述的邓肯非线性土体模型由于简洁直观，并能较好的反映土体的非线性特性，且参数易于通过试验直接获得，因而最为常用。但该模型采用简单双曲线描述应力应变曲线有时存在很大误差，导致切线模量的模拟结果与实际情况存在较大的差异。研究基于微分方程建立了土体参数应力应变新模型，改进了非线性切线模量的表达，为进一步研究土体本构模型奠定了基础。

双曲线应力应变模型分析

大量试验数据表明双曲线并不能很好的模拟三轴试验的应力应变关系，有时存在很大误差。这种误差的根本原因在于双曲线的局限性，下面引入应力应变曲线的另一个特征量“半值强度指数”分析此问题。定义三轴试验应力应变曲线的“半值强度指数”为：“当土体偏应力达到对应极限偏应力的1/2时，对应的应变数值。由此定义可知，它是以应变的形式描述土体应力发展速度的又一特征量，对按变形设计的现代岩土工程课题非常重要。半值强度指数越小，土体应力相对发展速度越快，参见图1。

在双曲线模型中隐含了“半值强度指数在数值上等于极限偏应力与初始切线模量之比”这一冗余条件，这是产生较大拟合误差的根本原因。实际上即使在极限强度与初始切线模量确定的情况下，半值强度指数还可能与土体自身性质、外界条件等因素有关。较为理想的应力应变模型应能保证3个特征方程独立，在极限强度与初始切线模量确定的情况下仍能够强度的发展速度。

非线性切线模量改进

切线模量建立的主要工作就是确定参数应力应变模型中待定参数与土体基本参数的关系。以下采用3参数新应力应变模型对土体切线模量进行改进。

（1）模型参数的确定

由以上分析可知，a 即为土体的极限偏应力。实际上ε不可能无穷大，在达到一定值后土体就破坏了，这时的偏应力为 (σ1 - σ3)f ，它总是小于极限偏应力。试验数据的拟合表明，对于初始状态相同的土体，不同围压下参数 b 与 a 的比值基本不变，即ba = λ ，其中λ 为不小于 1 的实数。

（2）试验数据模拟

联立模型参数可以得到改进剪切模量对应的不同围压下的土体应力应变曲线。对文献中的一组三轴试验数据进行模拟，结果见图2，模型参数取值见表1。由图2可见，本文提出的改进模型能够很好的模拟土体应力应变曲线，需要说明的是，传统双曲线模型由于自身的局限性无法得到图2中理想的模拟结果。

研究结论

土体应力应变模型和切线模量的模拟是土体非线性模型的基本问题，是岩土工程数值分析的前提条件，研究对此作了较为详细的研究。

（1）在传统初始切线模量、极限偏应力的基础上，引入“半值强度指数”的概念，建立了应力应变模型的数学特征方程，分析了双曲线应力应变模型数学特征方程不独立的缺陷。

（2）在试验数据分析的基础上，提出了土体应力应变曲线的控制微分方程，进一步建立了3参数新应力应变模型，该模型数学性质与理想应力应变曲线吻合。

（3）从数学上严格证明了双曲线模型是3参数新应力应变模型的特例。

（4）在 3 参数新应力应变模型的基础上，改进了非线性模型中土体切线模量的表达，给出了确定参数的方法，并采用改进的切线模量对 3 轴试验数据进行了模拟。

用双曲线切线模量方程计算地基非线性沉降

现有的地基沉降计算方法包括弦线模量法，在确定地基的应力分布时，均是按弹性介质考虑，而地基是非弹性介质，因此，理论附加应力与实际应力有偏差。一般认为，根据 Boussinesq 弹性应力解计算得到的应力分布是偏大的，因此，采用弹性应力解计算得到的沉降将会偏大，弦线模量法为了得到比较准确的沉降结果，在计算地基沉降时，采用的是前一级荷载稍稍偏大的模量值。

研究依据载荷试验曲线对附加应力进行修正，确定出新的变形参数——双曲线切线模量（又称修正切线模量）来计算地基的沉降，能够得到与试验值完全吻合的结果，该方法计算原理简单，适用于各类地基土，将为地基沉降预测开辟出一条新途径。

切线模量方程及沉降计算公式

假定地基为非均质非线性的弹性体，而各分层土则看作是各向同性弹性体，分段加载过程中每段加载均可视为线性弹性体。原位土体的变形模量E0可根据载荷试验试验曲线起始直线段某压力点p1对应的沉降量 s1 利用下列公式计算得到：

式中：I0 = ωd，ω 为刚性承压板的形状系数，圆形承压板取0.79;方形承压板取0.88；d 为承压板的直径或边长；µ为土的泊松比。

理论研究表明，基础埋深对附加应力分布有影响。由于基础底面平面上存在剪切摩擦力，导致地基内荷载作用中心下地基内的竖向附加应力pz减少10%左右，按照弹性理论计算得到的附加应力是偏大的；而土体的非线性非均质特征也会对附加应力分布产生一定影响。

对于大型筏板基础或大面积堆载情况，由于附加应力分布范围深厚，对不同的土层（或厚度较大的同一土层的分段土层）需做深层的螺旋板载荷试验或旁压试验以确定各层土的切线模量方程。旁压试验实际上是一种侧向载荷试验，分预钻式和自钻式2种。自钻式旁压试验虽然成果更加可靠，但仪器操作复杂、价格高，故预钻式旁压试验应用较多。

研究结论

（1）对于几个不同地点、不同土类型、不同压板形状尺寸的载荷试验，采用双曲线切线模量计算得到的地基沉降，与实测曲线吻合得很好，说明双曲线切线模量是能够准确计算地基沉降的理想参数；

（2）切线模量方程包含了载荷试验及沉降计算参数的全部信息，且形式简单，物理意义明确，能够反映地基的非线性变形特征，可用于载荷试验成果的整理、分析，并为地基非线性沉降计算提供附加应力之外的充分必要之依据；

（3）切线模量的大小与附加应力水平有关，附加应力修正系数β值一般在 0.85～1.0之间，说明附加应力分布采用弹性理论公式进行计算其误差一般在15%以内；β值用载荷试验数据进行双曲线拟合后自动求解，计算过程不受人工因素干预影响；压缩层计算深度与分层厚度可以不受限制；

（4）与其他计算方法相比，本方法计算原理简单，计算结果准确，计算参数全部来自原状土测试资料，较为可靠。分段双曲线拟合法能够求解载荷试验曲线与双曲线相关性不高的情况；

（5）规范法中的沉降计算经验系数ψ 未充分考虑附加应力水平的影响，是造成计算结果误差偏大的主要原因。

鉴于承载机制的相似性，本方法对于小面积基础（如独立基础、条形基础）的沉降计算无疑是适用的。对于应用双曲线切线模量求解大尺寸基础（如筏板基础）或大面积堆载以及复合地基情况下地基沉降问题的准确性还有待进一步的验证，此外，推导出能够考虑时间因素的双曲线切线模量方程也是值得进一步研究的课题。

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