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割集矩阵

数学名词

有向图G中，割集j与支路k的相互关系是：如果支路k不是割集j的元素，则称支路k与割集j不相关联；如果支路k是割集j的元素(支路k的方向与割集j的方向可能相同也可能不同)，则称支路k与割集j相关联。常用独立割集矩阵Q (简称割集矩阵) 来描述独立割集与支路的关联关系。制集矩阵Q的第j行第k列元素用qjk表示，j为割集序号，k为支路序号，qjk描述了割集j与支路k的关联关系。

基本介绍
割集是连通图G中某些支路的集合，若移去这些支路，则连通图G被分成两个部分。如果少移去其中的一条支路，图仍然是连通的。
割集矩阵是描述割集与支路的关联关系的矩阵。设连通有向图G有n个结点，b条支路，首先选单树支割集为独立割集(规定每个单树枝割集的方向和树枝方向相同)，独立割集数为n-1个，则割集矩阵为一个(n-1)×b阶矩阵，用表示。割集矩阵的行和割集对应，列和支路对应，则割集与支路的关联关系可用它的任一元素表示。取值的具体意义如下：
(1)表示割集与支路关联，且方向一致。
(2)，表示割集与支路关联，方向相反。
(3)，表示割集与支路不关联。
例如，表1(a)所示的独立割集数为3，如表1中(b)，表1中(c)和表1中(d)所示。其割集矩阵为
和基本回路类似，如果割集矩阵的列序(割集顺序)和树支所对应基本割集的排序一致，则
这样的割集矩阵称为基本割集矩阵，用表示。若割集的方向和对应树支的方向一致，则中将出现一个阶的单位子矩阵，即
式中，下标分别表示与树支和连支对应的部分。在选定支路3、5、6为树支，支路1、2、4为连支后，表1对应的基本割集矩阵为
用割集矩阵表示的KVL和KCL方程
割集矩阵和关联矩阵类似，若用矩阵左乘支路电流的列向量，有
即
该式就是用表示的KCL的矩阵方程。
对于表1中(a)所示的图，若所选独立割集与表1所示的相同，则
对于n个结点、b条支路的图，设n-1个树支电压的列向量为
于是，各支路电压可以用树支电压来表示，即
式中为割集矩阵的转置矩阵。可见，如果已知n-1个树支电压，则b条支路的电压可以用树支电压表示，这是割集电压法的基本思想。该式就是用矩阵表示的KVL的矩阵形式。
例如，表1所示的支路电压与其树支电压关系的矩阵表示为
由以上分析看出：
(1) KCL和KVL既可以用A矩阵和B矩阵表示，同样可以用矩阵表示。它们之间存在等效变换关系。当连通图的A矩阵、B矩阵和矩阵的阶次不同时，其KCL和KVL表示式的复杂程度也不同。
(2)KCL、KVL和电路的拓扑结构有关，这是集总元件电路公设的必然结果。对集总电路而言，无论其支路元件是线性的还是非线性的、时变的还是非时变的，基尔霍夫定律总是成立的。
(3)电路是由电路元件组成的。电能在电路中的实际分布不仅受KCL和KVL约束，也要受支路元件特性的约束。只有把元件约束(元件的伏安特性)与基尔霍夫定律相结合，才能确定电路元件上的能量分布，完成电路分析的任务。
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