加性范畴

常用范畴

加性范畴(additive category)亦称加法范畴。是一种常用范畴。范畴是范畴论的基本概念之一。

定义

一个范畴C称为加性范畴。若它满足下述条件：

1.对任何A,B∈C，态射集Hom(A,B)为一个交换群，且态射复合满足左、右分配律，即，若σ,σ′∈Hom(A,B)，τ,τ′∈Hom(B,C)，则(τ+τ′)σ=τσ+τ′σ，τ(σ+σ′)=τσ+τσ′。即C为Ab-范畴。

2.C有零对象。

3.对任何A,B∈C，A与B的双积必存在。

定义中的条件3可换为

3′.任何有限个A1，A2，…，An∈C，双积

必存在。

例子

阿贝尔群范畴Ab。

分次R模范畴。

性质

加性范畴的对偶范畴仍为加性范畴；加性范畴中态射f为单态射的充分必要条件是kerf=0，f为满态射的充分必要条件是coker f=0。

范畴

范畴是范畴论的基本概念之一。称C是一个范畴，是指C满足下述六点：

1.C有一个对象类{A，B，C，…}(不要求它是一个集合，即不要求它满足集合论的公理，只要求能判别出是不是它的对象)，常记为ObjC或简记C.

2.对C的任两对象A，B，有一个确定的集合(可为空集)Hom(A，B)，其元素称为由A到B的态射，记为f∈Hom(A，B)或f：A→B.

3.对给定的f∈Hom(A，B)与g∈Hom(B，C)有惟一的gf∈Hom(A，C)，称为f与g的合成.

4.Hom(A，B)与Hom(C，D)有公共元是指A=C且B=D.

5.态射合成满足结合律.

6.对C的任意对象A，Hom(A，A)至少有一个元素εA使对σ∈Hom(A，B)恒有σεA=σ=εBσ，称εA为A的恒等态射(εB为B的恒等态射).

例如，以一切集合作对象，以集合映射作态射，则得集合范畴Set(简称集范畴)。以一切拓扑空间作对象，以连续映射作态射，则得拓扑空间范畴Top。以一切环为对象，以环同态作为态射得环范畴Ring。类似地，可得群范畴Group，阿贝尔群范畴AG，环R上的左R模范畴RM等。以自然数为对象，a|b(表示a整除b)时定义Hom(a，b)有惟一元素φab，ab时定义Hom(a，b)=(空集)，也得到一个范畴。一般地，对每个拟序集都可仿此定义范畴。

实例——阿贝尔范畴

阿贝尔范畴是一种特殊的加性范畴。因此具有更丰富的性质。一个加性范畴C称C为阿贝尔范畴。若再满足下述三条件：

1.任何态射f都有核ker(f)与余核coker(f).

2.任何单(满)态射都是其余核(核)的核(余核).

3.任何态射σ都可分解为一个单态射η与一个满态射π的合成σ=ηπ(称为σ的标准分解式).

阿贝尔群范畴、环R上的R模范畴都是阿贝尔范畴。阿贝尔范畴具有加性范畴的一切性质。阿贝尔范畴的对偶范畴仍为阿贝尔范畴。阿贝尔范畴中既单且满的态射是单位态射。阿贝尔范畴在同调代数及代数几何中都是最常用的一类范畴。

阿贝尔群

阿贝尔群亦称交换群。一种重要的群类。对于群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba。若群G的运算满足交换律，即对任意的a，b∈G都有ab=ba，则称G为阿贝尔群。由于阿贝尔(Abel，N.H.)首先研究了交换群，所以通常称这类群为阿贝尔群。交换群的运算常用加法来表示，此时群的单位元用0(零元)表示，a的逆元记为-a(称为a的负元)。用加法表示的交换群称为加法群或加群。

态射

态射是范畴论的基本概念之一。通常可看成是同态与映射的推广。

同态

设E与F为两个群胚，它们的合成法则分别记为⊥与⊤。称从E到F中的映射f是群胚同态，如果对于E的任一元素偶(x，y)，有

设E与F为两个幺半群(两个群)，称从E到F中的映射。f是幺半群(群)的同态，如果f是群胚的同态，且E的中性元素的象是F的中性元素。(在群的情况下，后一个条件是自然满足的，但是从加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x↦0是群胚的同态，而并不因此就是幺半群的同态)。

设G为乘法群，而a为G的元素。由关系f(n)=an所定义的从加法群Z到G中的映射f是群的同态。

设A与B为两个环(两个体)，称从A到B中的映射f是环(体)的同态，如果f是加法群的同态，且为乘法么半群的同态. 这就是说，对A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

并且f将A的单位元变成B的单位元。

例如，设n为非零自然数;使任一有理整数对应其对模n的剩余类映射是从环Z到环Z/nZ上的同态.设E与F为两个A-代数(两个酉A-代数). 称从E到F中的映射f是A-代数(酉A-代数)的同态，如果它是线性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同态。

例如，设E为交换体K上的非零有限n维向量空间，而B为E的基. 则从E的全体自同态之酉代数ℒ(E)到K中元素构成的全体n阶方阵之酉代数Mn (K)中的映射，如果该映射使E的任一自同态对应它在基B中的矩阵，则这一映射是酉代数的同态.

同态的概念能用抽象的方式加以推广。

映射

映射亦称函数。数学的基本概念之一。也是一种特殊的关系。设G是从X到Y的关系，G的定义域D(G)为X，且对任何x∈X都有惟一的y∈Y满足G(x，y)，则称G为从X到Y的映射。即关系G为映射时，应满足下列两个条件：

1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).

2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).这个被x∈X所惟一确定的y∈Y，通常表示为y=f(x)(x∈X).f(x)满足：

1) f(x)∈Y.

2) G(x，f(x))成立(x∈X).

3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).

关系G常使用另一些记号：f：X→Y或XY.f与G的关系是y=f(x)(x∈X)，当且仅当G(x，y)成立.可取变域X中的不同元素为值的变元称为自变元或自变量。同样可取变域Y中的不同元素为值的变元称为因变元或因变量。始集X称为映射f的定义域。记为D(f)或dom(f)。终集Y称为映射的陪域，记为C(f)或codom(f).Y中与X中的元素有关系G的元素的组合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}称为映射的值域，记为R(f)或ran(f)。当y=f(x)时，y称为x的象，而x称为y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。对于AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}称为A的象。记为f(A)。对于BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}称为B的原象。记为f(B)。显然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。

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