加权几何平均数

数学术语

加权几何平均数是在变量值次数(或比重)不相等时，用加权的方法计算出的几何平均数。几何平均数是n个正标志值的连乘积的n次方根。当标志值出现的次数相同时，用简单几何平均数的公式计算；当标志值出现的次数不同时，用加权几何平均数的公式计算。几何平均数的应用特点是：受极端标志值的影响，但较算术平均数和调和平均数为小：计算几何平均数的各项标志值必须是大于0的正数；应用范围较窄，它是计算平均比率或平均发展速度较适合的一种方法。

基本介绍

几何平均数

几何平均数也称几何均值，它是n个变量值连乘积的n次方根，是计算平均比率或平均发展速度最为适合的一种方法。凡是各变量值的连乘积等于总速度或总比率的现象都可以运用几何平均法计算平均数。几何平均数分为简单几何平均数和加权几何平均数。

加权几何平均数定义

在计算几何平均数时，某些变量值重复出现若干次，就出现了加权几何平均数公式，其计算公式为：

式中，为变量值重复出现的次数，又称权数。

简单几何平均数定义

简单几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根，其计算公式为:

式中：——数列中第个变量值；

——变量值个数；

一连乘符号。

相关结论

算术平均数、调和平均数和几何平均数三者之间存在如下数量关系：

并且只有当所有变量值都相等时，这三种平均数才相等，因此选择平均数的计算公式十分重要。算术平均数公式的使用最为广泛。

计算几何平均数，一般需要开高次方：第一种方法是利用对数求解；第二种方法是利用计算器直接开高次方求解。

几何平均数是适用于特殊数据的一种平均数；其应用条件有：（1）所掌握的变量值本身是比率的形式；（2）各比率的乘积等于总比率。几何平均法一般适用于各变量值之间存在环比关系的事物。如银行平均利率、各年平均发展速度、产品平均合格率等的计算。应用几何平均数应注意的问题：（1）数列中任何一个变量值都不能为0，若有一个变量值等于0或负值，就无法计算几何平均数；（2）几何平均数易受最初水平和最末水平的影响。几何平均数主要用于计算比率或速度的平均，因此，几何平均数也可以看做是均值的一种变形。

例题分析

加权几何平均数

例1 一家投资公司某笔投资的年利率是按复利计算的，10年的年利率分配是：第1年至第2年为5%；第3年至第5年为8%；第6年至第8年为10%；第9年至第10年为12%。求平均年利率。

解：由于以复利计算，各年的利息是在前一年累计存款额(本金加利息)的基础上计息，因此应该先将各年利率换算成各年本利率(1+年利率),然后按加权几何平均数计算平均年本利率，最后将平均年本利率减去1，就得到平均年利率。

平均年利率=平均本利率－1

结果说明，10年的平均本利率为108.774 3%，平均年利率即为8.774 3%。

简单几何平均数

例2生产某产品需连续经过4 道工序，根据检验，各道工序的合格率分别为98%、95%、92%、90%，求该产品4道工序的平均合格率。

解:由于后道工序的产品合格率是在前道工序产品全部合格的基础上计算而成的，因此整条装配线的产品合格率不是各道工序产品合格率之和，而是各道工序产品合格率的连乘积。所以，不能采用算术平均数计算平均各道工序的产品合格率，而必须采用几何平均数计算。即

以上两例是几何平均数两种典型的应用场合。

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