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劳斯判据

代数稳定判据

劳斯判据（劳茨判据），又称为代数稳定判据。劳斯于1877年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。由此劳斯获得了亚当奖。劳斯判据，这是一种代数判据方法。它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性.由于不必求解方程，为系统的稳定性的判断带来了极大的便利。

定义
假若劳斯阵列表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。假若第一列系数有负数，则第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。
应用
相对稳定性
劳斯判据不仅可以判别系统稳定不稳定，即系统的绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。
求虚根
在根轨迹分析法中会遇到求根轨迹与虚轴交点的问题，即求闭环特征方程的虚根的问题。可以借助列写劳斯表来解决。具体方法为：当劳斯表s1行系数等于0时，闭环特征方程出现共轭虚根。令s1行系数等于0，则得根轨迹增益，再根据s2行的系数写出辅助方程（形式为as2+b=0）求得共轭虚根。
操作步骤
求特征方程
写出线性系统的特征方程，式中的系数为实数。设，即排除存在零根的情况。
观察特征方程系数
特征方程中所有系数都不等于0且符号相同，这是系统稳定的必要条件。因为任意个只包含正系数的一次和二次因子的乘积，必然也是一个具有正系数的多项式，所以，特征方程缺项或具有负的系数项，系统便是不稳定的。
编制劳斯计算表
如果系数都是正数，那么按照下面的方式编制劳斯计算表。
劳斯表的前两行由特征方程的系数组成：第一行由第1，3，5，…项系数组成，第二行由第2，4，6，…项系数组成。以下各行系数由如下公式计算：
劳斯表共行，最下面两行各有1列，其上两行共有2列，依此类推。最高一行应有列或列。
表中关系有：
判定
特征方程中，实部为正数的根的个数等于劳斯表的第一列元素符号改变的次数。因此，系统稳定的充要条件是：特征方程的全部系数都是正数，并且劳斯表的第一列元素都是正数。
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