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势函数

数理科学术语

势函数的构造是人工势场方法中的关键问题。势函数其值为物理上向量势或是标量势的数学函数，又称调和函数，是数学上位势论的研究主题，同时在平摊分析（amortized analysis）的势能法中，用来描述过去资源的投入可在后来操作中使用程度的函数。

定义
定义 ：
满足以下条件的连续函数称为势函数：
(1 ).
(2 ) 存 在,使得 在上单调递增，在上单调递减，并称 为此势函数的中心点，为此势函数的高度。
典型的势函数构造方法：P(θ)=f{d(θ,θ0),[dR(θ),O],dT}(1)，式中 θ，θ0—机器人当前位姿与目标位姿矢量；d(θ,θ0)—θ与θ0间的某种广义距离函数；dR(θ)，O—当前位姿下机器人与障碍物间的最小距离；dT—给定的门限值；P(θ)分别为变量d(θ,θ0)和dR(θ)，O的单调递增函数和单调递减函数。
对势模型
在 20 世纪 80 年代以前，分子动力学模拟一般都采用对势模型。对势可以比较好地描述除金属和半导体以外的几乎所有无机化合物。有些对势是经过一定的理论分析而得到的，但其中一些参数则需要根据宏观实验参数用经验方法来确定，这些宏观实验参数主要有弹性常数、平衡点阵常数以及内聚能、空位形成能和层错能等，这些称为半经验势。后来，为了拟合的方便，人们在选择势函数的形式时，并不一定要求有确切的理论依据，而是出于经验的估计和拟合方便的需要，相对自由地选择势函数形式 ，这样确定的势函数被称为经验势 。
几种典型的半经验势
1、Lennard-Jones势
Lennard-Jones 势函数的解析表达式可写为 ：
。
其中 ， 反映了相互作用的强度； 反映了原子的大小。根据量子力学二次微扰论的偶极子-偶极子相互作用可导出 n =12 ，这一项描述了范德瓦耳斯力，后一项是排斥力 ，其来源之一是原子核之间的库仑斥力，来源之二是电子之间由于泡利不相容原理产生的交叠能。
2、Morse 势
1929 年，Morse 注意到双原子分子的振动谱的量子力学问题可用指数形式的势函数解析地解决，并发现计算结果与实验一致。于是他提出如下形式的势函数 ：
。
Mo rse 势和 Lennard-Jones 势的曲线形式非常相似。M orse 势常常用来构造各种多体势的对势部分。
3、Born —Mayer 势
Born 和 M ayer 估计碱金属离子之间的排斥项可用指数形式表示，于是提出如下形式的势函数：
。
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