区间套

数学术语

设在实轴上，有一组闭区间I1，I2，I3，…，In，…具有下述二种性质：(1)In+1全部在In中(n=1，2，3，…)；(2)当n→∞时，区间In的长度趋向于0，则称这组区间为区间套。

定义

设表示以为端点的闭区间，即，而用记其长度，即假若它们满足以下两个条件：

1)对所有的n，皆有；

2)当时，，那么，就称是一个区间套。

区间套定理

若是一个区间套，则存在唯一的实数c属于所有的区间。

证明：由区间套的条件1)易知：数列是单调递增的，且有界(任一皆为其上界)，故必有极限，令

现证数c属于一切区间，为此，取某个固定的自然m，则对大于m的n，皆有故知

现令则有

即数c属于区间，因m是任意，故c属于区间套的所有区间。

最后再证唯一性、为此，该用反证法；

假定c‘是属于一切区间的另一数，那么因为它们都属于，故有

于是有

这与区间套的条件2)是矛盾的，故知属于所有区间的c是唯一的。

应该强调的是：区间套中的区间，必需是闭的(包含二端点在内)，否则，区间套定理就未必成立．譬如，取一系列不包含端点的开区间容易看出：包含在之中，且有

但却不存在任何实数属于所有的区间。

详细介绍

我们怎样描述一个无理实数呢?对于像这样一些数，我们能够给出简单的几何表征，但这并不总是容易做到的，足以产生每一个实数点的一种通用可行的方法，乃是通过越来越精确的有理近似值数列来描述数值x，特别是，我们将从左、右两边同时逼近x，其精确度逐次增高，而使得误差的界限趋向于零，换句话说，我们采用这样一个包含x的端点为有理数的区间“序列”，其中每一个区间都包含着下一个区间，而且使得此序列中充分靠后的那些区间，其区间的长度，随同其近似值的误差，小于任何预先指定的正数。

首先，设x含于闭区间之中，即

这里都是有理数(见图1)，在之中，我们考虑一个包含x的“子区间”，即

这里都是有理数，例如，我们可以取的某一半作为，因为x必定处在区间的这一半或那一半之中。在之中，我们也考虑包含x的子区间，

这里都是有理数，如此等等，我们要求区间的长度随n增加而趋向于零；即对于所有足够大的n，的长度小于任何预先指定的正数，一个闭区间的集合，其中每一个都包含着下一个并且其长度趋向于零，我们称它为“区间套序列”。点x由区间套序列唯一确定，即没有另一点y能够处于所有之中，因为，只要n足够大，x和y之间的距离就会超过的长度，由于这里我们总是选取有理点作为的端点，又因为具有有理端点的每一个区间由两个有理数来描述，于是我们看到， L上的每一个点，即每一个实数，能够由无穷多个有理数来准确地描述，逆命题并不是显而易见的；我们将把它当作一个基本公理来接受。

区间套公理：如果是一个具有有理端点的区间套序列，则存在一个点x包含于所有的之中。这是一个连续性公理：这个公理保证实轴上没有空隙存在。

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