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单值化定理

数学术语

单值化定理(uniformization theorem)是黎曼曲面理论中最基本最重要的定理。单值化定理表明，大多数的情形下，黎曼曲面共形等价于单位圆D对某个富克斯群G的商空间D/G，因此R上的解析函数论等价于定义在D上的对某个富克斯群G自守的函数论，反之，整个黎曼曲面理论也能以这个特殊的表示为基础进行讨论，一个经典的问题是：给定一个D上的富克斯群G，是否存在非常数亚纯函数对于G是自守的，即黎曼曲面上是否存在非常数的亚纯函数。庞加莱((J.-)H.Poincaré)具体构造Θ级数，后称为庞加莱级数，以此证明对给定的G是自守的函数的存在，闭黎曼曲面的一个重要定理是黎曼-罗赫定理，它给出闭黎曼曲面上亚纯函数构成的线性空间的维数，两黎曼曲面，如果存在映一个为另一个的共形映射，则称它们是共形等价的。关于闭黎曼曲面的模的黎曼问题称：亏格为g(>2)的闭黎曼曲面的共形等价类集合Rg构成3g-3维复流形，这方面基础性的工作是由弗里克(R.Fricke)和泰希米勒(O.Teichmǚller)所做。

基本介绍
单值化定理叙述如下：
任一黎曼曲面必共形等价于下述典型曲面之一：
1.扩充复平面 ；
2.复平面C；
3.穿洞的复平面 ；
4.环面，即 ，Z表示整数集；
5.单位圆对某个富克斯群G的商空间D/G。
相关介绍
覆盖空间
设X和Y是Riemann曲面，一个映射 称为覆盖映射，若对每点 ，有开邻域 使得
其中 是Y的互不相交的开子集，且 在 上的限制 是同胚的。显然覆盖映射是局部同胚的，Y称为X的一个覆盖空间，如果存在覆盖映射 ，使得 。
每个覆盖映射 都具有曲线提升性质：即对每条曲线 及每个点 使得 ，或者说对每个 ，存在一条曲线 使得 且 ，见交换图(图1)。 就称为以 为起点的 在Y上的提升。
设Y是X的覆盖空间 是覆盖映射，若Y是单连通的，则称Y为X的万有覆盖空间，由如下结论，我们可以进一步认识万有覆盖空间，Y为X的万有覆盖空间当且仅当相应的覆盖映射具有万有性质：对每个覆盖映射 ，其中Z为Riemann曲面以及对每对 使得 ，存在惟一连续映射 使得 且有交换图如2，即, 。使交换图成立的h又称为保网的，这是很形象的。
设 是万有覆盖映射，则对每对 使得 ，由万有性质，即对交换图2中 的情形，存在惟一的保网同胚 使得 ，此时h称之为覆盖变换，所有这样由 确定的保网同胚映射，即覆盖变换之集在复合运算定义的乘法下构成一个群，称之为覆盖变换群，记为 ，它同构于X的基本群。
设 ，对任一点 ，令
称为(y所在的)轨道。我们把 视为一点，这样的点构成的集记为 ，并可以赋上开集系统和复结构使其成为一个Riemann曲面，开集系统和复结构都是由投影映射 导出来的，要求使得是Y到的万有覆盖映射，且是解析的，进而X与是共形等价的，即X与间存在双方解析同胚。在共形等价意RT，可写。故X是它的万有覆盖空间在覆盖变换群下的粘合空间——商空间。
设 为万有覆盖空间。若X是单连通的，那么 是平凡的。由于与同构，所以它也是平凡的，即它只包含一个恒等覆盖变换。这样是单叶的，从而是Y到X的同胚。进一步，是双方解析的，即Y与X是共形等价的。这说明了同一个Riemann曲面的两个万有覆盖空间是共形等价的，因为它们互为万有覆盖空间。
对任一Riemann曲面X，我们以X上曲线的同伦等价类作为特征将X的点区分为各个层叶，这样做可使得曲面X上的每个“洞”被“捏”起来，从而建立X上的一个单连通的覆盖Riemann曲面——万有覆盖空间。为此，取一点a∈X，对任意，让表示分别以a和x为起点和终点的X上的曲线的同伦等价类之集，定义
以及映射使得。然后，在上建立开集系统和复结构，使成为一个单连通的Riemann曲面，并且使得是万有覆盖映射，所以任一Riemann曲面都有万有覆盖空间。
单值化定理
单连通的Riemann曲面共形等价于Riemann球面或复平面或单位圆盘△。因此任一Riemann曲面X以球面或复平面或单位圆盘△为其万有覆盖空间。这样，Riemann曲面X被分为椭球面或抛物面或双曲面，根据它的万有覆盖空间为球面或复平面或单位圆盘△来确定，进一步研究得到穿孔平面和环面T是抛物的，即它们的万有覆盖空间为复平面就是万有覆盖映射，因是单连通的，并且
exp把上的平行于虚轴宽为的带形格子的两边粘合起来，得到两头无限延伸出去的管子。这个管子共形等价于；因环面可写为，其中是格子，那么投影映射，就是万有覆盖映射，并且
所有不与共形等价的Riemann曲面一定是双曲的，对任意双曲Riemann曲面中的每个覆盖变换是△到△的共形映照，从而是线性变换，即是△上变换群的子群，可以写。
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