单叶函数

数学名词

单叶函数是复变函数中一类重要的解析函数。对复平面区域D上单值的解析函数ƒ(z)，若对D中任意的不同的两点z1、z2有ƒ(z1)≠ƒ(z2)，则说f(z)为D上的单叶函数。单叶函数及其相关的单叶映射等课题是复变函数论最重要的研究内容之一。单叶函数具有很多比较好的性质，例如：单叶函数最基本的性质为其导数无零点；单叶函数的单叶函数仍为单叶函数；单叶函数的反函数仍为单叶函数。

定义

单叶函数是复变函数中一类重要的解析函数。对复平面区域D上单值的解析函数ƒ(z)，若对D中任意的不同的两点z1、z2有ƒ(z1)≠ƒ(z2)，则说f(z)为D上的单叶函数，记作f(z)属于φ。单叶函数及其相关的单叶映射等课题是复变函数论最重要的研究内容之一。

由著名的黎曼映射定理知道，任意两个至少有两个边界点的单连通区域D1及D2，一定可以相互共形映射，即存在解析的单叶函数ƒ，将D1一一地映射为D2，所以对单叶函数的研究在复变函数论中显得很重要。由于单叶映射也是最简单的映射，所以对它的讨论也是复变函数论中最基本的内容之一。若解析函数ƒ(z)在D中单叶，则ƒ’(z)≠0在D中成立；反之，ƒ'(z)≠0在D中成立，不一定能保证ƒ(z)在D中单叶，只能说在一点的一个邻域内单叶。最早对单叶函数有重要贡献的是P.克贝(1909)、L.比伯巴赫(1916)、G.费伯(1916)等。例如，比伯巴赫证明了重要的偏差定理：若 ƒ(z)在|z|<1中正则单叶，且ƒ(0)=0,ƒ'(0)=1,则有：

上述等号限于克贝函数时成立。

重要贡献者

德国数学家克贝和比伯巴赫

德国数学家克贝和比伯巴赫等最早对单叶函数做出贡献。例如，比伯巴赫从1916年开始对单位圆内全纯单叶函数进行了定量研究，他讨论了单叶的半纯函数，建立了面积原理，由此导出贝克掩盖定理，最后证明了重要的偏差定理。

原苏联数学家戈卢津

原苏联数学家戈卢津研究单叶函数的几何性质，证明了有趣的回转定理。

比伯巴赫与芬兰数学家奈望林纳

比伯巴赫与芬兰数学家奈望林纳共同建立了单位圆内单叶函数的系统理论。1916年比伯巴赫提出了一个著名猜想，被称为比伯巴赫猜想。它曾经是单叶函数研究的中心问题，吸引过许多著名数学家。围绕这个猜想所做的工作推动了复变函数论的发展。

注意：由比伯巴赫猜想产生了一系列相关的猜想，如米林猜想、罗伯森猜想、希尔斯莫尔猜想、罗戈辛斯基猜想、李特尔伍德猜想等，其中最重要的是米林猜想，可以证明米林猜想导出比伯巴赫猜想。1984年L.de布朗基结合勒夫纳方法及米林方法证明了米林猜想，从而证明了比伯巴赫猜想。历时68年终于证明了这个著名的猜想。

性质

性质1

单叶函数最基本的性质为其导数无零点。即：f(z)∈φ，z∈R f'(z)≠0,z∈R。

性质2

单叶函数的单叶函数仍为单叶函数。

证明：设w=f(z)在开域R中为单叶函数，且把z平面的开域R变为w平面的开域R'，ξ=F(w)在开域R‘’中为单叶函数，且把w平面的开域R'变为ξ平面的开域R”。我们知道解析函数的解析函数仍为解析函数，因而ξ=F{f(z)}在R中解析。又R中的点与R'中的点一一对应，R’中的点与R''中的点一一对应，所以R中的点与R''中的点必然是一一对应的。所以ξ=F{f(z)}∈φ，z∈R。定理证毕。

性质3

单叶函数的反函数仍为单叶函数。

证明：为书写方便起见，令。已知z=φ(w)建立了R'中的点的一一对应关系，要证明z=φ(w)在R'中为单叶函数，只需证明它在R'中解析即可。

首先证明z=φ(w)在R'中连续。设w0为R'中任意一定点，并令z0=φ(w0)，则w0=f(z0)。设为任意给定的正数，并取得适当小，使得z0的邻域E：l z—z0l<ε全部在R中。在变换w=f(z)下，z平面的开域E变为w平面的开域E'，它们全部在R'中。注意到w0为E'的内点，因此可以w0为中心，最大可能的正数δ为半径作w0的邻域Ω：I w-w0I<δ全部在E’中。显然对任意一点w∈Ω，它所对应的z属于E。这就证明了当lw-w0I<δ时，Iz-z0l=Iφ(w)-φ(w0)I<ε，所以z=φ(w)在w0处连续。由于点w0可以为R'中任意一点，故z=φ(w)在R'中连续。

其次证明z=φ(w)在点w0处导数存在。因已知z=φ(w)为w的连续函数，故当w→w0时，z→z0，又从性质1可知，f '(z0)≠0，于是有：

这就证明了z=φ(w)在点w0处导数存在，且其值为。由于w0可以为R'中的任意一点，因此φ(w)在R'中处处有导数，当然解析。于是证明了φ(w)∈φ，w∈R'。

性质4

设w=f(z)在单位圆|z|<1中为单叶，且把|z|<1变为|w|<1。如果能够保持圆心不变，则w=f(z)必为整线性变换，这里a为实数。如果还知道能够保持经过圆心的某一方向不变，则w=f(z)必为恒等变换w=z。

证明：按照假设w=f(z)∈φ，|z|<1，且把|z|<1变为|w|<1，把点z=0变为w=0.从此即知f(z)满足三个条件：

（1）f(z)∈A，|z|<1；

（2）|f(z)|<1，|z|<1；

（3）f(0)=0。

于是根据模相似定理，得|w|=|f(z)|≤|z|（其中|z|<1）。

另一方面，从性质3可知w=f(z)的反函数z=φ(w)∈φ，|w|<1。显然z=φ(w)把|w|<1变为|z|<1，把w=0变为z=0。于是φ(w)也满足三个条件：

（1）φ(w)∈A，|w|<1；

（2）|φ(w)|<1，|w|<1；