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取样定理

信息学术语

相对于连续信号，离散信号的处理更为方便、灵活，因此在很多的实际应用过程中，首先将连续信号转换为相应的离散信号，对其进行加工处理，再将处理后的离散信号转换为连续信号。 这样一来，就出现了一个问题：连续信号转换为离散信号，相应的离散信号是否保留了原连续信号的全部信息， 能不能由离散信号不失真地还原出原来的连续信号？

主要内容
取样及取样定理的内容
连续信号的取样是由取样器（实际中为 A/D 转换器）来完成。 取样器就相当于一个电子开关，每隔 T 秒闭合一次，并对该电子开关的输出进行编码，得到原来连续信号 在nT时刻的样本值 ，如图1所示：
理想取样（周期单位冲激取样）
f(t)←→F(jω) (–ωm< ω<ωm)
s(t)←→S(jω)
fs(t)←→Fs (jω)
冲激取样信号的频谱
画fS(t)的频谱时，当ωS≥2ωm 时,其频谱不混叠，故能设法(如低通滤波器)从FS(j)中取出F(j)，即从fS(t)中恢复原信号f(t)； 否则发生混叠。
定理内容
奈奎斯特（Nyquist）和香农（Shannon）分别于 1928 年和1949 年 提 出 了 取样 定 理 ，取样 定 理 指出： 一个频谱在区间(-fh，fh)以外都为零的频带有限信号 ，可以唯一地由其在均匀间隔 上的样值点 确定。
取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可用离散样本值表示。利用这些样本值可恢复原信号。
取样定理为连续信号与离散信号间的转换提供了理论依据。
地位
对于频谱有限函数,Shannon取样定理在函数逼近方面是一个重大的突破.取样定理来源于通信技术，但目前其应用远远超出此范围。工程技术上，如地球物理勘探、工业设计、图象处理等方面广泛应用到取样定理。
缺陷
收敛速度太慢、计算量大，从而误差较大之缺陷，还是不能适合高科技时代工程技术上的要求。
发展
1.1986年，Natterer引入S空间中的速降函数，由此给出的取样定理大大加快了收敛速度，但由于速降函数不是初等函数，给计算带来了麻烦；
2.快速取样定理：对于中的任意b频谱有限函数f(x)成立：
因为是初等函数，当|x|趋于无穷时，，因此只需要选取适当的N，如选取N=3,4等值便可提高取样定理的收敛速度。
工程应用
在实际应用过程中， 许多工程信号不是频带有限信号，即不满足取样定理，不能直接取样。 需要在取样之前加入抗混叠低通滤波器,去掉的高频成分，然后在进行取样。图3给出加抗混叠低通滤波器和不加抗混叠低通滤波器两种情况下，连续信号与取样信号的频谱图对比：
从中可以发现，加入抗混叠低通滤波器之后，频谱的混叠失真可以大大减小。
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