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可表函子

在数学中范畴论里的概念

可表函子是在数学中范畴论里的概念，指从任意范畴到集合范畴的一种特殊函子。

定义
定义1
设D有小态射集。则函子K:D→Set的表示为对，其中r∈Ob(D)，φ:D(r,-)≅K为自然同构。r称为表示对象。若K存在表示，则K称为可表函子。所以在同构的意义下，可表函子就是共变Hom函子D(r,-)。
定义2
设C为局部小范畴，并记集合范畴为Set 。对C中的每个对象A以Hom(A,-)指代将对象X映到集合Hom(A,X) 的Hom函子。
函子F是可表函子，当且仅当存在C中某个对象A使得F自然同构于Hom(A,X)。而满足
为自然同构的对(A,Φ)则称为F的一个表示。
从C到Set 的反变函子G不过是（共变）函子，常被称作预层。与共变的情况相似，预层是可表的当它自然同构与某个反变的Hom函子 Hom (-,A)，其中 A是C 中的某个对象。
泛元素
根据米田引理，从Hom (-,A)到 F 的自然变换与集合一一对应。给定自然变换，与之对应的元素 由
给出。反之，给定元素，可以如下定义自然变换
其中 f 是Hom (A,X)中的任意元素。为了得到 F 的表示，我们需要确定 u诱导的自然变换何时会是同构。这引导出如下定义：
函子的泛元素是由C中的对象 A与 F(A) 中的元素 u 组成的一对 (A,u)，使得对于任意满足的对 (X,v)，都存在唯一映射 使得。
泛元素还可看作从单点集合到函子{ F}的泛态射，又或者看作{ F}的元素范畴中的始对象。
性质
唯一性
函子的表示在同构的意义下唯一。
换言之，如果与 表示同一个函子，那么存在唯一的同构 使得
用泛元素的语言表述如下：如果与 表示同一个函子，那么存在唯一的同构使得
保极限性
可表函子自然同构于Hom函子，因而享有许多后者的性质。尤其值得注意的是，（协变）可表函子保持所有极限。由此可得，未能保持某些极限的函子都不是可表的。
相似地，反变可表函子把余极限映到极限。
左伴随
如果函子 带有左伴随，那么它就可由 表示；这里是某个单元素集合，而是伴随的单位。
反之，如果由对(A,u)表示，且 A 的任意上幂在 中都存在，那么拥有左伴随F，后者将任意集合 I映到 A 的I 次上幂。
所以，如果是带所有上幂的范畴，则函子 是可表的当且仅当它拥有左伴随。
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