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各向同性张量

力学概念

各向同性张量是指在坐标变换后分量数值即在新老坐标系中保持同名分量相等的张量。或者每一分量都是坐标系做刚体转到变换下的不变量，则此张量是各向同性张量。

简述
各向同性张量的分量不因坐标系的旋转而改变，即该张量与方向无关。所有零阶张量都是各向同性张量。所有一阶张量都不是各向同性张量。
设 、 和 为任意标量， 为克罗内克 张量 ， 驰为置换张量，则二阶各向同性张量的一般形式为 ，三阶各向同性张量的一般形式为 ，四阶各向同性张量的一般形式为 。
定义
一般来说，张量的分量将随坐标变化而变化。例如：在某个坐标系oxyz下的矢量（a，0，0），如果坐标系统绕其z轴选择180°，则在新的坐标系下，该矢量的分量成了（-a，0，0）。可见只要|a|≠0，矢量的分量随坐标系的改变而改变是显而易见的。这类随坐标系改变其分量也随之发生变化的张量成为各向异性张量。反过来，如果存在这样的张量H，其各个分量都不随坐标系的改变而变化，这类张量就称为各向同性张量。比如标量（零阶张量）、克内诺克记号 以及置换记号 都是各向同性的。各向同性名词来源于物理学。例如，物理学中常用四阶张量 来描述有应力 作用下的变形状态，即 ，这里称之为拉伸系数。其中分量 所表达的物理意义是，在x方向的轴向拉力作用下x方向的拉伸系数。相应的拉伸系数张量 就是各向同性张量。
各向同性张量的严格定义可以陈述如下：对于一个n阶张量 ，如果它的各个分量在坐标旋转变换下都是不变量，即 ，则称之为各向同性张量。一般来说，各向同性张量都满足置换定理。
置换定理
在坐标系oxyz的坐标旋转变换中，与原坐标系3个坐标轴重合的变换只有两种，一种是 ，另一种是 ，即是说在以上坐标变换下，张量坐标的变换为3→1，1→2，2→3和2→1，1→3，3→2。在这种特点坐标变换下，各向同性张量 满足各向同性的定义。即
其中， 为 按如上之一的置换关系确定的。如上述即为置换定理。
置换定理一般陈述是：设 为n阶同性张量的某个分量，若另一分量 的指标 与指标 满足置换关系，那么必有
性质
各向同性张量的性质主要有以下几点：
(1)零阶张量(标量)都是各向同性张量。
(2)一阶张量除零矢量外都是各向异性。
(3)二阶各向同性张量必为
(4)三阶各向同性张量必为
(5)四阶各向同性张量必为
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