吉伯斯现象

吉布斯效应

吉伯斯现象Gibbs phenomenon（又叫吉布斯效应）：将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲）傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%。这种现象称为吉伯斯现象。

发现者介绍

吉伯斯(1839-1903 )出生于康涅狄格新港口市，住在high street,现在位于耶鲁大学中心. 1854-1858年在耶鲁大学学习,获学士学位。1863年(美国提供授予博士学位的第3年),在耶鲁大学的设菲尔德学院获得工程学博士学位.1871-1903在耶鲁作数学物理学的教授（1871～1880年约翰斯霍普金斯雇用他时没有工资）。1879年，被选入国家科学协会。

选取傅里叶限级数的项数越多，在所合成的波形中出现的峰值越靠近不连续点。但无论n取的多大（只要不是无限大），峰值均趋于一个常数，它大约等于跳变值8.95%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去，这种现象称为吉伯斯现象。吉伯斯现象是一种振荡效应，群延迟补偿滤波器可能产生这种效应。在具有特性平坦的数字滤波器（一般用于FM应用）的系统中，这种滤波器在波形开始处会出现振荡，其峰值可能比稳定值高20dB。通常，滤波器的这种振荡现象在时域里出现加新号之后，是由存储的能量引起的。吉伯斯现象描述的是在这点前的过程。

发现过程

吉伯斯1902年发表了《统计学基本理论》。1898年,美国物理学家米切尔森(Albert Michelson)做了一个谐波分析仪.该仪器可以计算任何一个周期信号x(t)的傅里叶级数截断后的近似式 ,其中N 可以算到 80.米切尔森用了很多函数来测试它的仪器 ,结果发现xN(t)都和 x(t)非常一致.然而当他测试方波信号时,他得到一个重要的,令他吃惊的结果!他于是根据这一结果而怀疑起他的仪器是否有不完善的地方.他将这一问题写了一封信给当时著名的数学物理学家吉伯斯(Josiah Gibbs),吉伯斯检查了这一结果,并于1899年发表了他的看法.

米切尔森所观察到的有趣的现象是在不连续点附近部分和 xN(t)所呈现的起伏,这个起伏的峰值大小似乎不随N 增大而下降!吉伯斯证明:情况确实是这样 ,而且也应该是这样.随着N 增加,部分和的起伏就向不连续点压缩,但是对任何有限的N 值,起伏的峰值大小保持不变 ,这就是吉伯斯现象.这个现象的含义是:一个不连续信号x(t)的傅里叶级数的截断近似xN(t),一般来说,在接近不连续点处将呈现高频起伏和超量,而且,若在实际情况下利用这样一个近似式的话,就应该选择足够大的N ,以保证这些起伏拥有的总能量可以忽略.当然,在极限情况下,近似误差的能量是零,而且一个不连续的信号(如方波)的傅里叶级数表示是收敛的。

减小方法

为了减小吉伯斯现象，可以选取一些边瓣较小的窗口，比如汉宁窗或哈明窗来代替矩形窗。当采用哈明窗，且M=5，10，20时，截取并移位后的h(n)如图1所示。由图1可知，使用哈明窗后，通带内的振荡基本消失，阻带内的纹波也大大减小。从这一点来说，滤波器的性能得到了改善。但是，这是以过渡带的加宽为代价的。

现象解释

图像的傅立叶变换，由于其变换本身有多种成熟的快速算法（FFT算法），而且性能接近于最佳，从而获得较早的也比较广泛的研究。它的不足之处在于：相邻子图像数据在各个边界不连续造成的所谓Gibbs现像。这是由于图像数据的二维傅立叶变换实质上是一个二维图像的傅立叶展开式。当然这个二维图像应被认为是周期性的。由于子图像的变换系数在边界不连续，而将造成复原的子图像在其边界也不连续。于是由复原子图像构成的整幅复原图像将呈现隐约可见的以子图像尺寸为单位的方块状结构，影响整个图像质量。当子图像尺寸较小时更为严重。

解决这个Gibbs现像的方法是后来研究出来的二维余弦变换（DCT）代替二维傅立叶变换。基本思路为：用一个对称的2N*2N 像素的子图像代替原来N*N 子图像。由于对称性，子图像作二维傅立叶变换，其变换系数将只剩下实数的余弦项。这样，即可消除Gibbs现像。

伪吉布斯效应

伪吉布斯效应是指不连续点四周的信号会在一个特定目标水平上下波动，是由于信号不连续点位置导致的。

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