同调代数

数学术语

同调代数是随着拓扑学，特别是同调论的发展而形成的一种代数方法。它把代数学中以往作个别研究的一些问题，用统一的观点给予强有力的展开，而形成作为一般体系的领域。这个方法是建立在范畴与函子的观点之上的，它以不仅处理对象的内部结构，而且处理对象的机能结构为其特征。同调代数是在第二次世界大战后形成的新分支，它在广泛的领域中都得到了应用。

发展介绍

同调代数(Homological Algebras)是代数学的一个重要分支，主要研究在代数对象的各种范畴(如给定环上的模、层等)上的导出函子，第二次世界大战后形成的新的数学分支，在20世纪40年代发展起来。创始人为昂里·嘉当、格罗坦迪克、爱伦堡等。它是随着拓扑学和同调论（同调群）的发展而形成的一种代数方法。它用范畴与函子的统一的观点，把过去在代数学中分别研究的问题，加以统一的处理，形成一般的体系。其应用颇广，对整个数学产生了相当大的影响。

最早出现的是群的上同调和同调，这是围绕着解决赫维茨(波兰代数拓扑学家)问题而引出的。这个问题的解决还导致波兰一美国数学家艾伦伯格和美国数学家麦克莱恩在1945年引进了群的上同调群。与此同时，结合代数的上同调群，李代数的上同调理论也都被引进。这些理论于1956年为H.嘉当和艾伦伯格用范畴的语言统一起来，形成代数学的一个独立分支。

基本知识

平行于代数拓扑，我们可以定义复形及其同调模。令R是有单位元的环，n∈Z，是R模，则模与同态的序列

称为一个复形，若，这一复形记作。叫作n循环，叫作n边缘。由复形的定义条件，叫作第n个同调模。如果对任意整数n，，换言之，，则称是一个正合列。例如令M是任意R模，是投射模到M的一个满同态。以代替M，作投射模到的满同态，...，由归纳法，得到一个正合序列：

使得M右边的项皆为0，称为M的投射分解。类似地，运用一个模到入射模的嵌入，可以得到模的入射分解。最后，若正合序列(M，d)中除三个互相连接的项外皆为0，即

即称为短正合序列。这时是单射，是满射，且。同调代数的主要内容是研究Hom函子，函子，及其导出函子Ext和Tor。现举例说明如下：固定一个左R模A。Hom(A，-)：是从左R模范畴到Abel群范畴的一个函子，任取左R模B，令

是B的一个投射分解。

是一个复形，这个复形的第n个同调模记作，且。称模E是模B借助A的扩张，若有短正合列

也就是说，B是E的一个子模，而E对这一子模的商模恰好是A。两个扩张E与E'称为等价，若有交换图

此处必为模同构。这样定义的等价是一个等价关系，令e(A，B)表所有等价类的集合，可以证明e(A，B)与一一对应。

计算各种群、环或代数的上同调模与同调模是这门学科的重要研究课题。

应用领域

同调代数的语言，具有自然、清晰地表达信息的优越性，已被应用于代数拓扑基础的公理化表述。后来，这种语言已在很多领域里被采用，甚至包括那些尚未使用同调方法的领域。同调代数的主要课题之一是研究正合函子，着重研究从模范畴到加群范畴的函子，以及函子的导函子，把同调与上同调都归结为导函子的特例。同调代数的方法已被广泛地应用到数学的各不同分支上，如泛函分析、单复变函数论、微分方程等，代数学的一些分支，如代数K理论、代数几何学和代数数论等，更不可缺少同调代数的方法。

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