命题演算

逻辑术语

命题演算是命题逻辑的公理化，任务是使用演算手段来讨论命题逻辑，有自然演算和公理演算两种方式。公理演算是给出公理，根据确定的推理规则推导出一系列重言式；自然演算不给出公理，利用一系列推理规则推出定理。

命题和逻辑连接词

命题分为两类，一类是不能再分解为更简单命题的命题，这种命题称为简单命题；另一类是可以分解为更简单命题的命题，这种命题称为复合命题。

在命题演算中，用符号A、B、C…或A1，A2，B1，B2，…等等表示简单命题。当命题A取值“真”时，又称A具有值T(True)，当命题A取值“假”时，又称A具有值F(False)，T和F称为命题常数。为了方便也可将T记为1，将F记为0。现在引入逻辑连接词，并通过它们从简单命题 “构造”复合命题.

若A、B是命题，首先引入5种基本的逻辑连接词：

(1)¬：否定词，¬A读为 “非A”，表示对命题A的否定，即和命题A对立的命题。当命题A取值为0时，¬A取值为1；反之，当命题A取值为1时，¬A取值为0.

(2)∧：合取词，A∧B读为“A并且B”。当且仅当命题A和B都取值为1时，命题A∧B才取值1，否则取值0。

(3)V:析取词，AVB读为“A或者B”。当且仅当命题A和B都取值0时，命题AVB才取值0，否则取值1。

(4)→：蕴涵词，A→B读为“若A则B”，当且仅当命题A是真命题，并且命题B是假命题时，A→B才是假命题。在命题A→B中，A称为前件，B称为后件.

(5)～：等值词，A～B读为“A等值于B”，或“A和B等值”，当且仅当命题A和B同时是真命题或同时是假命题时，A～B才是真命题。

合式公式

能成为命题的式子称为合式公式，简记为wff。

定义1

(1)一个命题变元是wff。

(2)若P是一个wff，则¬P是一个wff。

(3)若P和Qwff，则(P∧Q)、(PVQ)、(P→Q)和(P～Q)都是wff。

(4)wff只限于有限次使用(1)、(2)、(3)所得到的符号串.

这个定义实际上是由两部分组成的，第一部分是(1)、(2)、(3)条，它们是wff的形成规则，其中的第一条无连接词，直接生成wff；第二条和第三条是对已有的wff进行连接，构成新的wff。根据(1)、(2)、(3)，下面的式子都是wff：¬(PVQ)，¬(P∧Q)，(P→(Q→R))，(((P→Q)∧(Q→R))～(P→R))。

但前三条只说明了什么样的符号串是wff，而没有说明什么样的符号串不是wff，为了指明这一点，(4)是必要的。

定义2

如果A和B都是wff，B是A的一部分，则称B是A的部分合式公式或子公式，部分合式公式简记为wfp。

在一个wff中，每一个逻辑连接词都有其相应的作用范围，称为这一范围为该连接词的辖区，辖区的具体规定如下：

如果¬B是wffA的wfp，则B称为紧靠在它左方的否定词在A中的辖区。

如果(B→C)是wffA的wfp，则B和C称为(B→C)中→的辖区，B是它的左辖区，C是它的右辖区。

真值表、永真式

在对一个wff中的所有命题变元都作了代入后，就得到一个命题，进行不同的代入，所得到的各个命题，其真假值可能是不同的。对于一个合式公式，计算它在不同的代入下的取值，可以通过真值表来进行。所谓真值表，即将一个wff的每个命题变元在各种真值指派下的取值的情形列成的表。

定义1：对于一个wff的命题变元无论作何指派，所得到的值永为T，即命题永远是真命题，则称该Wf为永真公式或重言式，并称它是有效的。

定义2 ：对于一个wff的命题变元无论作何指派，所得到的值永为F，即命题永远是假命题，则称该wff为永假公式或不可满足公式。

定义3：不是永真公式的wff称为非永真公式，不是永假公式的wff称为可满足公式.

定义4：若P和Q是wff，A1，A2，…，An是出现在P、Q中的命题变元，当给A1，A2，…，An以任一组真值指派时，P和Q的取值都相同，则称合式公式P和合式公式Q等价，记为P<=>Q。

命题演算中的等价关系

用真值表来判定一个wff的取值情形，可以看到当wff中具有两个变元时，对变元的真值指派有22种不同情形；有三个变元时，有23种不同情形。一般情况下，当wff中有双个不同变元时，各种真值指派的组合是2n种，即真值表中有2n行需要计算，这样增长的计算量是相当大的，因此我们可以将一个给定的wff化简，即找出和它等价的、但比较简单的wff，从而使求值的工作简化。下面所给出的是一些常用的等价关系：

1.等幂律 P∨P<=>P； P∧P<=>P.

2.交换律 P∨Q<=>QVP；P∧Q<=>Q∧P.

3.结合律 (P∨Q)∨R<=>P∨(QVR)；(P∧Q)∧R<=>P∧(Q∧R).

4.分配律 P∨(Q∧R)<=>(P∨Q)∧(P∨R)； P∧(Q∨R)二(P∧Q)∨(P∧R).

5.吸收律 P∨(P∧Q)<=>P； P∧(P∨Q<=>P.

6.德.摩根律¬(P∨Q)<=>¬P∧¬Q；¬(P∧Q)<=>¬P∨¬Q.

7.同一律 P∨F<=>P； P∧T<=>P.

8.零律 P∧F<=>F； P∨T<=>T.

9.否定律 P∨¬P<=>T; P∧¬P<=>F.

10.双否定律¬¬P<=>P.

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