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哈密顿向量场

物理学术语

在数学与物理中，哈密顿向量场是辛流形上一个向量场，定义在任何能量函数或哈密顿函数上。以物理学家和数学家威廉·卢云·哈密顿命名。哈密顿向量场是经典力学中的哈密顿方程的几何表现形式，哈密顿向量场的积分曲线表示哈密顿形式的运动方程的解。由哈密顿向量场生成的流是辛流形的微分同胚，在物理中称为典范变换，在数学中称为（哈密顿）辛同胚。

定义
假设 (M,ω) 是一个辛流形。因为辛形式ω 非退化，诱导了切丛与余切丛 的一个线性同构
以及逆
从而，流形M上的1-形式可以与向量场等价起来，故任何可微函数 确定了惟一的向量场XH= Ω(dH)，称为哈密顿函数H的哈密顿向量场。即对M上任何向量场Y，等式
一定成立。
注：一些作者定义哈密顿向量场为相反的符号；需注意物理与数学著作的不同习惯。
例子
假设M是一个 2n维辛流形。则由达布定理，我们在局部总可以取M的一个典范坐标
在这个坐标系下辛形式表示为
则关于哈密顿函数H的哈密顿向量场具有形式
这里 Ω 是一个 2n× 2n矩阵
性质
映射 线性的，所以两个哈密顿函数之和变为相应的哈密顿向量场之和。
假设 是M上的典范坐标。则曲线 是哈密顿向量场XH的积分曲线当且仅当它是哈密顿方程的一个解：
哈密顿函数H在积分曲线上是常数，这就是 与时间t无关。这个性质对应于哈密顿力学中的能量守恒。
更一般地，如果两个函数F与H的泊松括号为零（见下），则F沿着H的积分曲线为常数；类似地H沿着F的积分曲线是常数。这个事实是诺特定理背后的数学原理。
辛形式 在哈密顿流下不变；或等价地，李导数
这里 是内乘，用到了李导数的嘉当公式。
泊松括号
哈密顿向量场的概念导致了辛流形M上的可微函数的一个斜对称双线性算子，这就是泊松括号，由如下公式定义
这里 表示沿着向量场X的李导数。此外，我们可以验证有恒等式：
这里右边表示哈密顿函数g与g对应的哈密顿向量场的李括号。作为一个推论，泊松括号满足雅可比恒等式。
这意味着M上可微函数组成的向量空间，赋予泊松括号，是R上的一个李代数，且映射是一个李代数反同态，其核由局部常值函数组成（如果M连通则为常数）。
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