圆内接四边形

几何概念

圆内接四边形(Cyclic quadrilateral)是一个几何概念,是指四个顶点均在同一圆上的四边形。圆内接四边形拥有很多几何性质,可用于数学几何问题求解。

性质定理
以图1所示圆内接四边形ABCD为例,圆心为O,延长AB至E,AC、BD交于P,则:
1.圆内接四边形的对角互补:∠BAD+∠DCB=180°,∠ABC+∠ADC=180°
2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角:∠CBE=∠ADC
3.圆心角的度数等于所对圆周角的度数的两倍:∠AOB=2∠ACB=2∠ADB
4.同所对的圆周角相等:∠ABD=∠ACD
5.圆内接四边形对应三角形相似:△ABP∽△DCP(三个内角对应相等)
6.相交弦定理:AP×CP=BP×DP
7.托勒密定理:AB×CD+AD×CB=AC×BD
判定定理
1、如果一个四边形对角互补,那么这个四边形内接于一个圆;
2、如果一个四边形外角等于它的内对角,那么这个四边形内接于一个圆;
3、如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离,那么这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆;
4、若有两个同底的三角形,另一顶点都在底的同旁,且顶角相等,那么这两个三角形有公共的外接圆
5、如果一个四边形的张角相等,那么这个四边形内接于一个圆;
面积计算
S圆内接四边形,p=(a+b+c+d)/2,此公式称之为婆罗摩笈多公式。与海伦公式对比可以看出,这和海伦公式三角形面积具有惊人的相似性,其实海伦公式就是婆罗摩笈多公式d=0的特殊形式。
相关例题
例题1:
在圆内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,BD=7,∠BDC=45°,则BC的长为_______?
答案
使用余弦定理:BD2=AB2+AD2-2AB×AD×cosA,解得∠A=120°,
因为:圆内接四边形对角互补
所以:∠C=60°,
使用正弦定理: BC÷sin∠BDC=BD÷sin∠C,
即BC÷[(√2)÷2]=7÷[(√3)/2]
所以:BC=(7√6)/3
例题2:
如图2,在梯形ABCD中,AB//DC,AB>CD,K、M分别在AD、BC上,∠DAM=∠CBK,
求证:∠DMA=∠CKB(第二届袓冲之杯初中数学竞赛考题)
答案
证明:连接KM与BC延长线上一点E。
因为:∠DAM=∠CBK
所以:AKMB四点共圆
因为:AB//DC
所以:∠DKM=∠MBA =∠DCE
所以:∠AKB=∠AMB,∠DKM=∠MBA
所以:CDKM四点共圆
所以:∠DKC=∠CMD
所以:∠CKB=∠DMA
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