圆柱螺旋线

数学学科术语

圆柱螺旋线是一种常见的曲线，是螺旋线的一种。一个动点沿圆柱面的母线作匀速直线运动，同时该母线又绕圆柱面的轴线作匀速转动，点的这种复合运动的轨迹称为圆柱螺旋线。决定一圆柱螺旋线的三个基本要素是：圆柱螺旋线的直径D、导程H及旋向。

基本概念

导程

动点旋转一周，其沿轴向上升的高度称为导程，用S表示。动点绕轴螺旋2π/n角度时，沿轴上升的距离为S/n。根据动点旋转方向，螺旋线可分为左螺旋线和右螺旋线两种，符合右手四指握旋转方向，动点沿拇指指向上升的称为右螺旋线，如图1(a)所示；符合左手四指握旋转方向，动点沿拇指指向下降的称为左螺旋线，如图1(b)所示。

升角

螺旋线上每一点的切线，对圆柱正截面的倾角都相等，这一角度称为圆柱螺旋线的升角。它的余角称为螺旋角。

螺旋线展开时为一直线，它是以圆柱正截面圆周长为底边，导程为高的直角三角形的斜边。由于螺旋线展开后为一直线，因此它是圆柱面上不在同一素线的两点之间的最短距离线。

螺旋线

在空间，一个动点M沿直线L作匀速直线运动，同时又以等角速度绕同平面的轴线Oz旋转，M的轨迹是一条空间(非平面)曲线，称为螺旋线。它分为左旋与右旋两种。螺旋线是绕在圆柱面或圆锥面上的曲线，而它的切线与定直线(曲面的母线)的交角，是固定不变的。

当动直线L平行于轴线Oz时，称为圆柱螺线。它是工程上应用最广泛的一种空间曲线，它的参数方程是：

它在轴线Oz方向的投影是圆;在与轴线垂直方向的投影，是正弦曲线。

自然界和日常生活中处处出现螺旋线，例如蝙蝠出洞时的飞行轨迹；植物的茎与叶；人的耳蜗等等。螺旋线还是生物学与核物理的一种重要结构，以光速运动的中微子和反中微子的轨迹，是某种具有相反(左与右)旋转性的螺旋线，而通常的螺钉或螺母具有右旋性。自行车左、右脚蹬轴的螺纹分别具有左、右旋性。

参数方程

圆柱螺旋线参数方程为：

式中，θ=ωt，ω为角速度，h称为螺距，β称为螺旋角，式中对右螺旋线取正号，对左螺旋线取负号。如果以弧长s为参数，则其方程为：

基本要素

决定一圆柱螺旋线的三个基本要素是：圆柱螺旋线的直径D、导程H及旋向。根据已知三要素D，H，旋向，就可以画出螺旋线的投影图，如图3所示。如将圆柱表面展开，则螺旋线展成一直线，这条直线为直角三角形的斜边，该直角三角形的一条直角边长为导程H，另一直角边长为圆柱底圆的周长πD。显然，在一个导程内，螺旋线的长度为。该直角三角形的锐角λ称为螺旋线的升角。其中，

投影作图

如图4所示，圆柱的轴线为铅垂线，直径为d，导程为S，点A是起点的右圆柱螺旋线，其投影作图步骤如下。

(1) 作出直径为d，高为S的圆柱面的两面投影，然后将水平投影(圆)和正面投影上的导程分成相同的等分，图中为12等分。

(2) 由圆周上各等分点引竖直线，与导程上相应各等分点所作的水平线相交，交点a′，1′，2′，…，12′即为螺旋线上各点的正面投影。

(3) 依次将a′，1′，2′，…，12′各点连成光滑曲线，即得到螺旋线的正面投影。在可见圆柱面上的螺旋线是可见的，其投影画成实线，在不可见圆柱面上的螺旋线是不可见的，其投影画成虚线。

圆柱螺旋线的正面投影是正弦曲线，水平投影是圆。

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