搜索

坐标轮换法

求无约束最优化问题的降维方法

坐标轮换法(univariate search technique)，也称变量轮换法，或降维法，是一种求无约束最优化问题的降维方法，属于直接法。其迭代过程是沿不同的坐标方向轮换地进行搜索。

基本原理
坐标轮换法或叫变量轮换法，又称降维法，它的每次搜索只允许在一个变量上进行，其余变量保持不变，即它是把一个n维无约束最优化问题转化为依次沿相应的n个坐标轴方向的一维最优化问题，并反复进行若干轮循环迭代来求解的直接搜索方法。
对于n维无约束优化问题，先将(n-1)个变量固定不动，只变化第一个变量 ，即由起始点第一个变量 的方向 进行一维搜索，得到好点 ；而后再保持(n-1)个变量不变，对第二个变量进行一维搜索，此时搜索方向为 ，得到好点 。如此沿 方向(即坐标方向)，且将前一次一维搜索的好点作为本次一维搜索的好点作为本次一维搜索的起始点，依次进行一维搜索后，完成一轮计算。若未收敛，则以前一轮的末点 为起始点，进行下一轮的循环，如此一轮一轮迭代下去，直到满足收敛准则，逼近最优点为止。
迭代步骤
具体迭代步骤如下：
（1）任选初始点 作为第一轮的起点 ，置n个坐标轴方向矢量为单位坐标矢量：
（2）按照下面迭代公式进行迭代计算：
式中，K为迭代轮数的序号，K=1，2，...，i 是该轮中一维搜索的序号，依次取i=1，2，3等。步长一般通过一维优化求出其最优步长。
（3）按下式判别是否该终止迭代：
若满足，迭代终止，并输出最优解：
迭代步长确定
迭代步长a的确定常用下述两种方法之一：
（1）最优步长。在沿坐标轴方向的搜索中，利用一维优化方法来确定沿该方向上具有最小目标函数值的步长。
（2）加速步长。先选择一个不大的初始步长，在每次一维搜索中都是先沿正向从开始作试探计算函数值，若函数值下降，则以倍增的速度加大步长，步长序列为，直到函数值保持下降的最后一个步长为止。若试探时函数值已增大，则改沿反向，即取后再加速步长。
优缺点
优点
坐标轮换法的优点是不需要确定目标函数的解析式，也不用求解目标函数的导数；方法简单，易于理解。它属于“爬山法”的一种，寻优过程犹如爬山，步步登高(目标函数值步步降低)，找到了最优点(函数值最小)，就好比登上了山的顶峰。
缺点
应当看到，由于它的迭代过程没有对变量做任何的比较评价(当然，这也正是它的优点)，所以它的迭代过程带有很大的盲目性。对于维数不多的优化问题，此法具有很大的优越性;但对于高维优化问题，如温度场中的换热系数，此法就变得效率很低了。
特点
（1）方法结构简单，易于掌握，但计算效率低，对维数较高的优化问题更为突出，通常用于低维优化问题；
（2）本方法的收敛效果在很大程度上取决于目标函数等值线的形状。
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