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基本群

代数拓扑的概念

这个概念最早是由庞加莱在19世纪末20世纪初提出并加以研究。基本群的应用已经渗入到数学的各个分支。 著名的庞加莱猜想也和基本群有关。

定义
设X为拓扑空间，若道路满足f(0)=f(1)，则f为闭路，f(0)为基点。闭路f的同伦类记为[f]。定义为基点为x的闭路同伦类的集合，并定义闭路同伦类[f]与[g]的乘法为先后走一遍先走f再走g。则称为X的基本群，或第一同伦群。
如果拓扑空间是道路连通的， 那么这个基本群和选择的起点无关（即选取不同基点的基本群彼此同构），它只依赖于拓扑空间的几何结构。故基本群可简记为π1(X)。
相关概念
基本群是平凡群的连通空间称为单连通的。
基本群到整数群的同态映射全体构成一个群，叫做1维同调群，它们是重要的拓扑不变量。
性质
基本群是同伦型不变量。由于基本群是同伦型不变量，因此，如果能计算出两个空间具有不同构的基本群，那么立刻推出这两个空间的同伦型不相同，更非拓扑等价。
设X与Y为带基点的空间，则。
连通李群的基本群为阿贝尔群。
应用
(1).对于任意群，都存在拓扑空间，使得。更进一步，存在二维胞腔复形，使得。
常见空间
1.可缩空间（就是可以连续收缩成一个点）和球面都是单连通的。
2.圆的基本群为整数加群，即π1(S1)=ℤ。
3.n个S1的楔积的基本群为有n个生成元的自由群。
4.当n＞1，n维射影空间的基本群为ℤ2，即π1(ℝPn＞1)=ℤ2。
5.n维环面的基本群为ℤn，即π1(𝕋n)=ℤn。
6.π1(SO(2))，因为SO(2)≅S1。
7.π1(SO(3))，因为SO(3)与≅ℝP3。
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