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增根

数学学科名词

增根，是指方程求解后得到的不满足题设条件的根。一元二次方程与分式方程和其它产生多解的方程在一定题设条件下都可能有增根。在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程解的条件是使原方程分母不为零。若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根。

来源
对于分母的值为零时，这个分数无意义，所以不允许分母为0，即本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。
举例
分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值。
解：去分母，x-2=0，
∴x=2。
又因为x-2=0，
∴方程无解
∴方程无意义，X=2是增根。
设方程 A(x)=0 是由方程 B(x)=0 变形得来的，如果这两个方程的根完全相同（包括重数），那么称这两个方程等价。如果 x=a 是方程 A(x)=0 的根但不是B(x)=0 的根，称 x=a 是方程的增根；如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根，称x=b 是方程B(x)=0 的失根。
非函数方程的增根
在两非函数方程（如圆锥曲线）联立求解的过程中，增根的出现主要表现在定义域的变化上。
例如：若已知椭圆 ，O为原点坐标，A为椭圆右顶点，若椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，求椭圆的圆心率的范围。
解：椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，即是以OA为直径画圆，要求与椭圆有除了A(a,0)以外的另外一个解。所以联立椭圆和圆的方程：
因为有两个根，所以
而正解却是
由（*）得
∴
∴
然而问题出在，无论怎么取，只要 ，好像△永远都大于0。
于是我们取e=1/2
假设
即可得椭圆 ···①
与圆 ···②
联立即可得 ···(*)
有十字相乘
显然 此时 是增根
将 带入①式
将 带入②式
将 带入(*)式
可知这里的确是产生了一个增根，而且在解题过程中不能通过任何方式排除，这说明多个非函数方程联立求解时，方程本身无法限制x的取值。一般来说，直线与圆锥曲线的联立并没有出现过算出两个解，还需要带回去验根的情况，大概是因为圆锥曲线不是函数，而直线是函数的原因。
注意：
1.不是任何的两个非函数方程联立都会产生增根。例如圆不是函数，但求两个圆的交点，不会产生增根。
2.增根的产生和定义域有关系，但没有绝对的关系。不能说联立方程时，将x定义域扩大或缩小就必然会引起增根。如上述例题中，①式定义域(-2,2) ②式定义域(0,2)大多数人是在②式中，用x表示y，写成 ，再带入①式，产生了增根。但是如果我们在①式中用x表示y，写成 ，再带入②式，我们依然会得到增根。
下面列出两种必然会出现增根的一般式：
椭圆与抛物线增根
椭圆(和抛物线联立方程式得：
由韦达定理得 且
可知，若，则，出现原因是忽略了中的隐含定义域x>0。联立方程式求解误认为x∈R（另外我们还知道）。
双曲线与抛物线增根
双曲线和抛物线联立方程式得
由韦达定理得且
可知，若，则，出现原因是忽略了中的隐含定义域x>0。联立方程式求解误认为x∈R（另外我们还知道）。
无理数方程的增根
解：两边平方得
得
得x=5或x=-6（增根）
出现增根的原因是由于两边平方忽略了上式的X>0且根号内的值大于等于0。
由于同样的粗心大意，错误还会在无理不等式中体现。
解法
解分式方程时出现增根或失根，往往是由于违反了方程的同解原理或对方程变形时粗心大意造成的。
如果不遵从同解原理，即使解整式方程也可能出现增根．例如将方程x-2=0的两边都乘x，变形成x(x－2)=0，方程两边所乘的最简公分母，看其是否为0，是0即为增根。
还可以把x代入最简公分母也可。
增根的产生，归根结底都是因为思维的不全面产生的。解题时要保证步步变形的等价性，这种等价性要通过等式和不等式去约束出来，特别是不等式，容易被忽略。如果不得已必须用不等价变形来解题，那么最后千万别忘记通过检验来去掉增根，这种检验也要注意全面性。
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