复数

数学概念

形如a+bi（a、b均为实数）的数为复数，其中，a被称为实部，b被称为虚部，i为虚数单位。复数通常用z表示，即z=a+bi，当z的虚部b＝0时，则z为实数；当z的虚部b≠0时，实部a＝0时，常称z为纯虚数。

历史

最早有关复数方根的文献出于公元1世纪希腊数学家海伦，他考虑的是平顶金字塔不可能问题。

16世纪意大利米兰学者卡尔达诺（Jerome Cardan，1501年~1576年）在1545年发表的《大术》一书中，公布了一元三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596~1650），他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应。从此，虚数才流传开来。

数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨（1646年~1716年）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。然而，真理性的东西一定可以经得起时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔（1717年~1783年）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是a+bi的形式（a、b都是实数）。法国数学家棣莫弗（1667年~1754年）在1722年发现了著名的棣莫佛定理。欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是虚构出来的，而它是确实存在的。挪威的测量学家韦塞尔（1745年~1818年）在1797年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。

18世纪末，复数渐渐被大多数人接受，当时卡斯帕尔·韦塞尔提出复数可以看作平面上的一点。数年后，高斯再次提出此观点并大力推广，复数的研究开始高速发展。诧异的是，早在1685年约翰·沃利斯已经在De Algebra tractatus提出这个观点。

卡斯帕尔·韦塞尔的文章发表在1799年的《Proceedings of the Copenhagen Academy》上，以当代的标准来看，也是相当清楚和完备的。他又考虑球体，得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。1804年，Abbé Buée亦独立地提出与沃利斯相似的观点，即以此来表示平面上与实轴垂直的单位线段。1806年，Buée的文章正式出版，同年让-罗贝尔·阿尔冈亦发表同类文章，而阿尔冈的复平面成了标准。1831年，高斯给出复数的几何意义解释，奠立了复数在数学中的地位。

复数吸引了许多著名数学家的注意，包括库默尔（1844年）、克罗内克（1845年）、Scheffler（1845年、1851年、1880年）、Bellavitis（1835年、1852年）、乔治·皮库克（1845年）及德·摩根（1849年）。莫比乌斯发表了大量有关复数几何的短文，狄利克雷将很多实数概念，例如素数，推广至复数。

德国数学家阿甘得（1777年~1855年）在1806年公布了复数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，复数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数。像这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”。1831年，高斯用实数组代表复数，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。

经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不“虚”。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。

随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。

定义

数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行（比如对负数开偶数次方），为了使方程有解，我们将数集再次扩充。

在实数域上定义二元有序对z=(a,b)，并规定有序对之间有运算“+”、“×”（记z1=(a,b)，z2=(c,d)）：

z1+z2=(a+c，b+d)

z1×z2=(ac-bd，bc+ad)

容易验证，这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域，并且对任何复数z，我们有：

z=(a,b)=(a,0)+(0,1)×(b,0)

令f是从实数域到复数域的映射，f(a)=(a,0)，则这个映射保持了实数域上的加法和乘法，因此实数域可以嵌入复数域中，可以视为复数域的子域。

记i＝(0,1)，则根据我们定义的运算，(a,b)=(a,0)+(0,1)×(b,0)=a+bi，i×i=(0,1)×(0,1)=(-1,0)=-1，这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。

形如的数称为复数（complex number），其中规定i为虚数单位，且（a、b是任意实数）

我们将复数中的实数a称为复数z的实部（real part），记作Re z＝a；实数b称为复数z的虚部（imaginary part），记作Im z＝b。

当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。

复数的集合用C表示，实数的集合用R表示，显然，R是C的真子集。

复数集是无序集，不能建立大小顺序。

概念

复数的模

将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣。

即对于复数，它的模。

共轭复数

对于复数，称复数=a-bi为z的共轭复数。即两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数（conjugate complex number）。复数z的共轭复数记作。

在复平面上，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，而这一点正是“共轭”一词的来源——两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做“轭”。

如果用z表示x+yi，那么在字母z上面加上一条横线就表示它的共轭复数x-yi。

共轭复数有些有趣的性质：

复数的辐角

在复变函数中，自变量z可以写成，r是z的模，即r=|z|；θ是z的辐角，记作Arg(z)。在区间[-π,π]内的辐角称为辐角主值，记作arg(z)（小写的Z）。

任意一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍。把适合于-π≤θ≤π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作arg(z)。辐角的主值是唯一的。

指数形式：。

算术性质

交换性（commutativity）　对所有α,β∈C都有α＋β＝β＋α，αβ＝βα。

结合性（associativity）　对所有α,β,λ∈C都有(α＋β)＋λ＝α＋(β＋λ)，(αβ)λ＝α(βλ)。

单位元（identities）　对所有λ∈C都有λ＋0＝λ，λ1＝λ。

加法逆元（additive inverse）　对每个α∈C都存在唯一的β∈C使得α＋β＝0。

乘法逆元（multiplicative inverse）　对每个α∈C，α≠0都存在唯一的β∈C使得αβ＝1。

分配性质（distributive property）　对所有λ,α,β∈C都有λ(α＋β)＝λα＋λβ。

运算法则

加法法则

复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。

即。

乘法法则

复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

即。

除法法则

复数除法定义：满足的复数叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算，

即（分母实数化）。

开方法则

若，则

（k＝0，1，2，3，…，n-1）。

运算律

加法交换律：z1+z2=z2+z1

乘法交换律：z1×z2=z2×z1

加法结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

乘法结合律：(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)

分配律：z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3

i的乘方法则

i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1（n∈Z）

棣莫佛定理

对于复数z=r(cosθ+isinθ)，有z的n次幂zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)]　（其中，n是正整数）

则

数系扩充

数学中，对“数量”的研究起于数，一开始为熟悉的自然数及整数与被描述在算术内的有理数和无理数。

具体来讲：

由于计数的需要，人类从现实事物中抽象出了自然数0、1、2、3、……，它是数学中一切“数”的起点。

由于自然数对减法运算不封闭（即：较小的自然数减去较大的自然数，其结果不是自然数），为了对减法运算封闭，我们将自然数扩充至整数；

由于整数对除法运算不封闭（即：一个整数不能被另一个整数整除，其结果不是整数），为了对除法运算封闭，我们将整数扩充至有理数；

由于有理数对于开方运算不封闭（即：有理数开正整数次方，其结果可以不是有理数），为了对开方运算封闭，我们将有理数扩充至一部分代数数。“代数数”定义为整系数（或有理系数）一元多项式方程的根，它包括一部分实数和一部分虚数。不是代数数的复数被称为“超越数”，例如π、e。另外，存在某些代数数，无法利用对有理数进行有限多步的四则运算与开方运算来表示，它们无法表示为关于有理数的代数形式。

另一方面，有理数对于极限运算不封闭，为了对极限运算封闭，我们又将有理数扩充到实数。从而，极限、微积分、无穷级数运算均可以良好操作。也就是说，将定义在实数域上的函数进行极限、定积分、多重积分、无穷级数、无穷积等运算，只要不发散，其化简结果都在实数范围之内。

最后，为了避免负数在实数范围内无法开偶数次方运算，我们将实数扩充到复数。复数是包含实数的最小代数闭域，我们对任意复数进行四则运算、开方，其化简结果都是复数。

由上述讨论可知，有理数与复数有两种划分方式：

分类

数的分类拓展到复数范围后，我们对复数范围的数集做以下分类：

注：①②代表对“有理数”两种不同的分类方式。

应用

系统分析

在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法（Nyquist plot）和尼科尔斯图法（Nichols plot）都是在复平面上进行的。

无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点位于右半平面，则因果系统不稳定；都位于左半平面，则因果系统稳定；位于虚轴上，则系统为临界稳定的。如果系统的全部零点和极点都在左半平面，则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关于虚轴对称，则这是全通系统。

信号分析

信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z)表示给定频率的正弦波的相位。